10.4. ADAPTIVE QUARDRATURE
175 dan seperti yang sudah kita duga,
error
-nya semakin kecil menjadi 0,01807. Prosedur ini dapat digeneralisir menjadi suatu formula sebagai berikut
Z
b a
f xdx =
n2
X
j=1
Z
x
2j
x
2j−2
f xdx
=
n2
X
j=1
h 3
[f x
2j−2
+ 4f x
2j−1
+ f x
2j
] − h
5
90 f
4
ξ
j
10.9 dimana h = b
− an dan x
j
= a + jh, untuk j = 1, ..., n2, dengan x = a dan x
n
= b. Formula ini dapat direduksi menjadi
Z
b a
f xdx = h
3
f x
+ 2
n2−1
X
j=1
f x
2j
+ 4
n2
X
j=1
f x
2j−1
+ f x
n
− h
5
90
n2
X
j=1
f
4
ξ
j
10.10
Formula ini dikenal sebagai metode Composite Simpson.
10.4 Adaptive Quardrature
Metode composite mensyaratkan luas area integrasi dibagi menjadi sejumlah region dengan jarak interval yang seragam yaitu sebesar nilai h. Akibatnya, bila metode composite diterapkan
pada fungsi yang memiliki variasi yang tinggi dan rendah sekaligus, maka interval h yang kecil menjadi kurang efektif, sementara interval h yang besar mengundang error yang besar pula.
Metode Adaptive Quadrature muncul untuk mendapatkan langkah yang paling efektif dimana nilai interval h tidak dibuat seragam, melainkan mampu beradaptasi sesuai dengan tingkat
variasi kurva fungsinya.
Misalnya kita bermaksud mencari solusi numerik dari integral R
b a
f xdx dengan toleransi ǫ 0. Sebagai langkah awal adalah menerapkan metode Simpson dimana step size h = b −
a2 Z
b a
f xdx = Sa, b − h
5
90 f
4
µ 10.11
dengan Sa, b =
h 3
[f a + 4f a + h + f b] Langkah berikutnya adalah men
Z
b a
f xdx = h
6 f a + 4f
a + h
2 + 2f a + h + 4f
a + 3h
2 + f b
− h
2
4
b − a 180
f
4
˜ µ
10.12
176
BAB 10. INTEGRAL NUMERIK
10.5 Gaussian Quadrature
Suatu integral dapat ditransformasi kedalam bentuk Gaussian quadrature melalui formulasi berikut
Z
b a
f xdx = Z
1 −
1
f b − at + b + a
2 b − a
2 dt
10.13 dimana perubahan variabel memenuhi
t = 2x − a − b
b − a ⇔ x =
1 2
[b − at + a + b] 10.14
Berikut adalah table polinomial Legendre untuk penyelesaian Gaussian quadrature Tabel 10.1: Polinomial Legendre untuk n=2,3,4 dan 5
n Akar r
n,i
Koefisien c
n,i
2 0,5773502692
1,0000000000 -0,5773502692
1,0000000000 3
0,7745966692 0,5555555556
0,0000000000 0,8888888889
-0,7745966692 0,5555555556
4 0,8611363116
0,3478548451 0,3399810436
0,6521451549 -0,3399810436
0,6521451549 -0,8611363116
0,3478548451 5
0,9061798459 0,2369268850
0,5384693101 0,4786286705
0,0000000000 0,5688888889
-0,5384693101 0,4786286705
-0,9061798459 0,2369268850
10.5.1 Contoh
Selesaikan integrasi berikut ini Z
1,5 1
e
− x
2
dx 10.15
Solusi exact integral diatas adalah: 0.1093643 jawab:
Pertama, integral tersebut ditransformasikan kedalam Gaussian quadrature melalui persamaan 10.13
Z
1,5 1
e
− x
2
dx = 1
4 Z
1 −
1
e
−t+5 2
16
dt 10.16
Kedua, Gaussian quadrature dihitung menggunakan konstanta-konstanta yang tercantum pa- da tabel polinomial Legendre. Untuk n = 2
Z
1,5 1
e
− x
2
dx ≈ 1
4 h
e
−0,5773502692+5
2
16
+ e
−−0,5773502692+5
2
16
i = 0, 1094003
10.5. GAUSSIAN QUADRATURE
177 Untuk n = 3
Z
1,5 1
e
− x
2
dx ≈ 1
4 [0, 5555555556e
−0,7745966692+5
2
16
+ 0, 8888888889e
−5
2
16
+ 0, 5555555556e
−−0,7745966692+5
2
16
] = 0, 1093642 10.5.2
Latihan
Selesaikan integrasi berikut ini Z
0,35
2 x
2
− 4 dx
Selesaikan integrasi berikut ini Z
3,5 3
x √
x
2
− 4 dx
