Bab 5
Aplikasi Eliminasi Gauss pada Masalah Inversi
✍ Objektif :
⊲ Mengenalkan teknik inversi model garis
⊲ Mengenalkan teknik inversi model parabola
⊲ Mengenalkan teknik inversi model bidang
Pada bab ini, saya mencoba menjelaskan contoh aplikasi Metode Eliminasi Gauss pada teknik inversi. Ada 3 contoh yang akan disinggung yaitu inversi model garis, model parabola
dan model bidang. Inversi adalah suatu proses pengolahan data pengukuran lapangan yang bertujuan untuk mengestimasi parameter fisis suatu obyek. Mari kita mulai dari model garis.
5.1 Inversi Model Garis
Pengukuran temperatur terhadap kedalaman di bawah permukaan bumi menunjukkan fak- ta bahwa semakin masuk kedalam perut bumi, temperatur semakin tinggi. Misalnya telah
dilakukan sebanyak empat kali N = 4 pengukuran temperatur T
i
pada kedalaman yang berbeda beda z
i
. Data pengukuran disajikan sebagai berikut: Tabel 5.1: Data temperatur bawah permukaan tanah terhadap kedalaman
Pengukuran ke-i Kedalaman m
Temperatur
◦
C 1
z = 5
T = 35
2 z
1
= 16 T
1
= 57 3
z
2
= 25 T
2
= 75 4
z
3
= 100 T
3
= 225 Grafik sebaran data observasi ditampilkan pada Gambar 5.1. Lalu kita berasumsi bahwa
variasi temperatur terhadap kedalaman ditentukan oleh suatu model matematika yang diru-
67
68
BAB 5. APLIKASI ELIMINASI GAUSS PADA MASALAH INVERSI
10 20
30 40
50 60
70 80
90 100
50 100
150 200
250
Kedalaman meter Temperatur Celcius
Variasi temperatur terhadap kedalaman
Gambar 5.1: Sebaran data observasi antara temperatur dan kedalaman
muskan berikut ini: m
+ m
1
z
i
= T
i
5.1 dimana m
dan m
1
adalah konstanta-konstanta yang akan dicari. Pada rumus diatas, m dan
m
1
disebut parameter model. Jadi model matematika tersebut hanya memiliki dua buah pa-
rameter model, M = 2. Sementara jumlah data observasi ada empat, N = 4, yaitu nilai-nilai kedalaman, z
i
, dan temperatur, T
i
. Kasus inversi dimana N M dikenal sebagai kasus over- determined
. Berdasarkan model tersebut, kita bisa menyatakan temperatur dan kedalaman sebagai berikut:
m + m
1
z = T
m + m
1
z
1
= T
1
m + m
1
z
2
= T
2
m + m
1
z
3
= T
3
Semua persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam operasi matrik berikut ini:
1 z
1 z
1
1 z
2
1 z
3
m m
1
=
T
T
1
T
2
T
3
5.2
