154
BAB 9. DIFERENSIAL NUMERIK
Sementara itu, turunan kedua persamaan 9.43 terhadap x berdasarkan deret Taylor adalah ∂
2
u ∂x
2
x
i
, t
j
= u x
i
+ h, t
J
− 2u x
i
, t
j
+ u x
i
− h, t
J
h
2
− h
2
12 ∂
4
u ∂x
4
ξ
i
, t
j
9.46 Pengabaian suku terakhir menjadikan persamaan di atas ditulis kembali sebagai berikut
∂
2
u ∂x
2
x
i
, t
j
= u x
i
+ h, t
j
− 2u x
i
, t
j
+ u x
i
− h, t
j
h
2
9.47 Kemudian persamaan 9.45 dan 9.47 disubstitusi kedalam persamaan 9.43, maka diperoleh
u x
i
, t
j
+ k − u x
i
, t
j
k = α
2
u x
i
+ h, t
j
− 2u x
i
, t
j
+ u x
i
− h, t
j
h
2
9.48 atau dapat dinyatakan dalam notasi w
w
i,j+1
− w
i,j
k − α
2
w
i+1,j
− 2w
i,j
+ w
i−1,j
h
2
= 0 9.49
Dari sini diperoleh solusi untuk w
i,j+1
, yaitu w
i,j+1
= 1 −
2α
2
k h
2
w
i,j
+ α
2
k h
2
w
i+1,j
+ w
i−1,j
9.50 jika
λ = α
2
k h
2
9.51 maka
1 − 2λ w
i,j
+ λw
i+1,j
+ λw
i−1,j
= w
i,j+1
9.52
9.6.2 Contoh ketiga:
One dimensional heat equation
Misalnya diketahui, distribusi panas satu dimensi 1D sebagai fungsi waktu t pada sebatang logam memenuhi persamaan berikut
∂u ∂t
x, t − ∂
2
u ∂x
2
x, t = 0, 0 x 1 0 ≤ t,
dengan syarat batas u0, t = u1, t = 0,
0 t, dan kondisi mula-mula
ux, 0 = sinπx, 0 ≤ x ≤ 1,
Solusi analitik atas masalah ini adalah ux, t = e
− π
2
t
sinπx Adapun sebaran posisi mesh-points dalam 1-D diperlihatkan pada Gambar 9.9. Sementara
9.6. PDP PARABOLIK
155
h=0.1
Gambar 9.9:
Sebatang logam dengan posisi titik-titik simulasi mesh-points distribusi temperatur. Jarak antar titik ditentukan sebesar h = 0, 1.
Gambar 9.10 melengkapi Gambar 9.9, dimana perubahan waktu tercatat setiap interval k = 0, 0005. Sepintas Gambar 9.10 terlihat seolah-olah obyek yang mau disimulasikan berbentuk
2-dimensi, padahal bendanya tetap 1-dimensi yaitu hanya sebatang logam.
1
t
x
k=0.0005 0.0.....
h=0.1
Gambar 9.10:
Interval mesh-points dengan jarak h = 0, 1 dalam interval waktu k = 0, 0005
Selanjutnya, Gambar 9.11 memperlihatkan tepi-tepi syarat batas yaitu angka 0 di ujung kiri dan angka 1 di ujung kanan pada sumbu horisontal x. Diantara batas-batas itu terdapat
sebaran titik simulasi berjarak h = 0, 1. Sementara, sumbu vertikal menunjukan perubahan dari waktu ke waktu dengan interval k = 0, 0005. Karena α = 1, h = 0, 1 dan k = 0, 0005 maka
1
t
x
0.1 0.2
0.3 0.4
0.5 0.6
0.7 0.8
0.9 0.0005
0.0010 0.0015
0.0.....
Gambar 9.11:
Posisi mesh-points. Arah x menunjukkan posisi titik-titik yang dihitung dengan forward- difference, sedangkan arah t menunjukkan perubahan waktu yg makin meningkat
λ dapat dihitung dengan persamaan 9.51 λ =
α
2
k h
2
= 0, 1
0, 0005
2
= 0, 05
