Bab 4
Metode Eliminasi Gauss
✍ Objektif :
⊲ Mengenalkan sistem persamaan linear.
⊲ Mengenalkan teknik triangularisasi dan substitusi mundur.
⊲ Aplikasi metode Eliminasi Gauss menggunakan matrik.
⊲ Membuat algoritma metode Eliminasi Gauss.
⊲ Menghitung invers matrik menggunakan metode Eliminasi Gauss.
4.1 Sistem persamaan linear
Secara umum, sistem persamaan linear dinyatakan sebagai berikut P
j
: a
n1
x + a
n2
x
1
+ ... + a
nn
x
n
= b
n
4.1 dimana a dan b merupakan konstanta, x adalah variable, sementara nilai n = 0, 1, 2, 3, ... dan
j = 1, 2, 3, .... Misalnya ada sistem persamaan linear yang terdiri dari empat buah persamaan yaitu P
1
, P
2
, P
3
, dan P
4
seperti berikut ini: P
1
: x
+ x
1
+ 3x
3
= 4
P
2
: 2x
+ x
1
− x
2
+ x
3
= 1
P
3
: 3x
− x
1
− x
2
+ 2x
3
= -3
P
4
: −x
+ 2x
1
+ 3x
2
− x
3
= 4
Problem dari sistem persamaan linear adalah bagaimana mencari angka-angka yang tepat untuk menggantikan variabel x
, x
1
, x
2
, dan x
3
sehingga semua persamaan di atas menjadi be- nar. Untuk mendapatkan solusi tersebut, diperlukan langkah-langkah penyederhanaan sistem
persamaan linear.
35
36
BAB 4. METODE ELIMINASI GAUSS
4.2 Teknik penyederhanaan
Ada banyak jalan untuk menyederhanakan sistem persamaan linear. Namun tantangannya, kita ingin agar pekerjaan ini dilakukan oleh komputer. Oleh karena itu, kita harus menciptakan
algoritma yang nantinya bisa berjalan di komputer. Untuk mencapai tujuan itu, kita akan berpatokan pada tiga buah aturan operasi matematika, yaitu
• Persamaan P
i
dapat dikalikan dengan sembarang konstanta λ, lalu hasilnya ditempatkan di posisi persamaan P
i
. Simbol operasi ini adalah λP
i
→ P
i
. Contoh P
1
: x
+ x
1
+ 3x
3
= 4 jika λ = 2, maka
2P
1
: 2x
+ 2x
1
+ 6x
3
= 8 • Persamaan P
j
dapat dikalikan dengan sembarang konstanta λ kemudian dijumlahkan dengan persamaan P
i
, lalu hasilnya ditempatkan di posisi persamaan P
i
. Simbol operasi ini adalah P
i
− λP
j
→ P
i
. Contoh P
2
: 2x
+ x
1
− x
2
+ x
3
= 1 2P
1
: 2x
+ 2x
1
+ 6x
3
= 8 maka operasi P
2
− 2P
1
→ P
2
mengakibatkan perubahan pada P
2
menjadi P
2
: −x
1
− x
2
− 5x
3
= −7 dimana variabel x
berhasil dihilangkan dari P
2
. • Persamaan P
i
dan P
j
dapat bertukar posisi. Simbol operasi ini adalah P
i
↔ P
j
. Con- toh
P
2
: 2x
+ x
1
− x
2
+ x
3
= 1 P
3
: 3x
− x
1
− x
2
+ 2x
3
= −3 maka operasi P
2
↔ P
3
mengakibatkan pertukaran posisi masing-masing persamaan, menjadi
P
2
: 3x
− x
1
− x
2
+ 2x
3
= −3 P
3
: 2x
+ x
1
− x
2
+ x
3
= 1 Sebelum dilanjut, saya ingin mengajak anda untuk fokus memahami aturan operasi yang ked-
ua. Misalnya ada 2 persamaan linear yaitu
P
1
: 3x
+ 2x
1
− 5x
2
+ 8x
3
= 3 P
2
: 4x
+ 7x
1
− x
2
+ 6x
3
= 9
