Menghitung arus listrik Contoh aplikasi

60 BAB 4. METODE ELIMINASI GAUSS Kemudian dinyatakan dalam bentuk matriks:    1 1 −1 6 −4 6 2       I 1 I 2 I 3    =    24 10    4.4 Selanjutkan kita susun matriks augmentasi sebagai berikut:    1 1 −1 6 −4 24 6 2 10    Langkah berikutnya adalah menghitung matriks triangularisasi dengan langkah-langkah se- bagai berikut: m = a 21 a 11 = 6 1 = 6 a 21 = a 21 − m.a 11 = 6 − 6.1 = 0 a 22 = a 22 − m.a 12 = −4 − 6.1 = −10 a 23 = a 23 − m.a 13 = 0 − 6.−1 = 6 a 24 = a 24 − m.a 14 = 24 − 6.0 = 24 m = a 31 a 11 = 6 1 = 6 a 31 = a 31 − m.a 11 = 6 − 6.1 = 0 a 32 = a 32 − m.a 12 = 0 − 6.1 = −6 a 33 = a 33 − m.a 13 = 2 − 6.−1 = 8 a 34 = a 34 − m.a 14 = 10 − 6.0 = 10 Sampai disini matriks augment mengalami perubahan menjadi    1 1 −1 0 −10 6 24 −6 8 10    4.5. CONTOH APLIKASI 61 Kelanjutan langkah menuju triangularisasi adalah m = a 32 a 22 = −6 −10 a 31 = a 31 − m.a 21 = 0 − −6 −10 .0 = 0 a 32 = a 32 − m.a 22 = −6 − −6 −10 .−10 = 0 a 33 = a 33 − m.a 23 = 8 − −6 −10 .6 = 4, 4 a 34 = a 34 − m.a 24 = 10 − −6 −10 .24 = −4, 4 maka matriks triangularisasi berhasil didapat yaitu    1 1 −1 0 −10 6 24 4, 4 −4, 4    Sekarang tinggal melakukan proses substitusi mundur I 3 = a 34 a 33 = −4, 4 4, 4 = −1 I 2 = a 24 − a 23 .I 3 a 22 = 24 − 6.−1 −10 = −3 I 1 = a 14 − a 13 .I 3 + a 12 .I 2 a 11 = 0 − [−1.−1 + 1.−3] 1 = 2 Dengan demikian, besar masing-masing arus pada rangkaian di atas adalah I 1 = 2A, I 2 = −3A dan I 3 = −1A. Tanda minus - memiliki arti bahwa arah arus yang sesungguhnya berlawanan arah dengan asumsi awal yang kita gunakan. Proses perhitungan di atas dilakukan oleh komputer dengan menjalankan source-code yang sudah kita buat. Inisialisasi matrik A dan vektor b disesuaikan dengan persamaan 4.4 1 from numpy import array 2 from komputasi import eliminasi_gauss 3 4 ~~~~~~inisialisasi matrik A~~~~~ 5 A = array[[1.,1.,-1.],\ 6 [6.,-4.,0.],\ 7 [6.,0.,2.]] 8 ~~~~~~inisialisasi vektor b~~~~~ 9 b = array[[0.],\ 10 [24.],\ 11 [10]] 12 ~~~~~~mencari solusi sistem persamaan linear~~~~~ 13 print eliminasi_gaussA,b Hasilnya adalah [[ 2.] 62 BAB 4. METODE ELIMINASI GAUSS [-3.] [-1.]] Hasil ini sama persis dengan perhitungan secara manual.

4.5.2 Menghitung invers matrik

Sekali lagi saya ulangi apa yang pernah kita bahas di awal bab ini yaitu bahwa sistem per- samaan linear dapat dinyatakan sebagai berikut: a 00 x + a 01 x 1 + . . . + a 0n x n = b a 10 x + a 11 x 1 + . . . + a 1n x n = b 1 . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . a n0 x + a n1 x 1 + . . . + a nn x n = b n Sistem persamaan linear tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk operasi matrik, Ax = b 4.5 sehingga bentuknya menjadi seperti ini:       a 00 a 01 . . . a 0n a 10 a 11 . . . a 1n .. . .. . .. . a n0 a n1 . . . a nn             x x 1 .. . x n       =       b b 1 .. . b n       dimana A =       a 00 a 01 . . . a 0n a 10 a 11 . . . a 1n .. . .. . .. . a n0 a n1 . . . a nn       , x =       x x 1 .. . x n       , b =       b b 1 .. . b n       Dalam kaitannya dengan invers matrik, matrik A disebut matrik non-singular jika matrik A memiliki matrik invers dirinya yaitu A − 1 . Atau dengan kata lain, matrik A − 1 adalah invers dari matrik A. Jika matrik A tidak memiliki invers, maka matrik A disebut singular. Bila matrik A dikalikan dengan matrik A − 1 maka akan menghasilkan matrik identitas I, yaitu suatu 4.5. CONTOH APLIKASI 63 matrik yang elemen-elemen diagonalnya bernilai 1. AA − 1 = I =       1 0 . . . 0 0 1 . . . 0 .. . .. . . .. ... 0 0 . . . 1       4.6 Misalnya diketahui, A =       1 1 3 2 1 −1 1 3 −1 −1 2 −1 2 3 −1       Lalu bagaimana cara mendapatkan matrik invers, A − 1 ? Mengacu pada persamaan 4.6 AA − 1 = I       1 1 3 2 1 −1 1 3 −1 −1 2 −1 2 3 −1             i 00 i 01 i 02 i 03 i 10 i 11 i 12 i 13 i 20 i 21 i 22 i 23 i 30 i 31 i 32 i 33       =       1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1       4.7 dalam hal ini matrik A − 1 adalah A − 1 =       i 00 i 01 i 02 i 03 i 10 i 11 i 12 i 13 i 20 i 21 i 22 i 23 i 30 i 31 i 32 i 33       Elemen-elemen matrik invers, A − 1 dapat diperoleh dengan memecah operasi matrik pada per- samaan 4.7 menjadi 4 tahapan perhitungan. Tahapan pertama adalah       1 1 3 2 1 −1 1 3 −1 −1 2 −1 2 3 −1             i 00 i 10 i 20 i 30       =       1       4.8 Dengan trik seperti ini, kita bisa memandangnya sama persis dengan contoh penyelesaian sis- tem persamaan linear menggunakan metode eliminasi Gauss maupun metode Gauss-Jordan.