7.5. ITERASI DENGAN RELAKSASI
107
28
if i==j:
29
i=i+1
30
T[j][i]=-1.A[j][i]A[j][j]
31
c[j][0]=b[j][0]A[j][j]
32
j=n-1
33
for i in range0,n-1:
34
T[j][i]=-1.A[j][i]A[j][j]
35
c[j][0]=b[j][0]A[j][j]
36 37
===== Metode Gauss-Seidel =======================
38
for m in range1,iterasi:
39
S=0
40
for i in range0,n:
41
S=S+T[0][i]xlama[i][0]
42
xbaru[0][0]=S+c[0][0]
43
for k in range1,n:
44
P=0
45
for j in range0,k:
46
P=P+T[k][j]xbaru[j][0]
47
S=0
48
for i in rangek,n:
49
S=S+T[k][i]xlama[i][0]
50
xbaru[k][0]=P+S+c[k][0]
51
x=xbaru-xlama
52
normselisih=norm2x
53
if normselisihtoleransi:
54
break
55
xlama=xbaru.copy
56 57
===== Mencetak hasil perhitungan ===============
58
print ’iterasi ke’, m
59
print xbaru
Perumusan metode Iterasi Gauss-Seidel dapat dinyatakan sebagai berikut:
x
k i
= −
P
i−1 j=1
a
ij
x
k j
− P
n j=i+1
a
ij
x
k−1 j
+ b
i
a
ii
7.6 dimana i=1,2,3,...,n.
7.5 Iterasi dengan Relaksasi
Metode Iterasi Relaksasi
Relaxation method
dinyatakan dengan rumus berikut: x
k i
= 1 − ω x
k−1 i
+ ω
a
ii
b
i
−
i−1
X
j=1
a
ij
x
k j
−
n
X
j=i+1
a
ij
x
k−1 j
7.7
dimana i=1,2,3,...,n. Untuk lebih jelasnya, marilah kita perhatikan contoh berikut, diketahui sistem persamaan
108
BAB 7. METODE ITERASI
linear Ax = b yaitu
4x
1
+ 3x
2
+ = 24 3x
1
+ 4x
2
− x
3
= 30 −x
2
+ 4x
3
= −24 memiliki solusi 3, 4,
−5
t
. Metode Gauss-Seidel dan Relaksasi dengan ω = 1, 25 akan digu-
nakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear di atas dengan x
= 1, 1, 1
t
. Untuk setiap nilai k = 1, 2, 3, ..., persamaan Gauss-Seidelnya adalah
x
k 1
= −0, 75x
k−1 2
+ 6 x
k 2
= −0, 75x
k 1
+ 0, 25x
k−1 3
+ 7, 5 x
k 3
= 0, 25x
k 2
− 6 Sedangkan persamaan untuk metode Relaksasi dengan ω = 1, 25 adalah
x
k 1
= −0, 25x
k−1 1
− 0, 9375x
k−1 2
+ 7, 5 x
k 2
= −0, 9375x
k 1
− 0, 25x
k−1 2
+ 0, 3125x
k−1 3
+ 9, 375 x
k 3
= 0, 3125x
k 2
− 0, 25x
k−1 3
− 7, 5 Tabel berikut ini menampilkan perhitungan dari masing-masing metode hingga iterasi ke-7.
Tabel 7.4: Hasil perhitungan iterasi Gauss-Seidel k
1 2
3 4
5 6
7 x
k 1
1 5,2500
3,1406 3,0879
3,0549 3,0343
3,0215 3,0134
x
k 2
1 3,8125
3,8828 3,9267
3,9542 3,9714
3,9821 3,9888
x
k 3
1 -5,0468
-5,0293 -5,0183
-5,0114 -5,0072
-5,0044 -5,0028
Tabel 7.5: Hasil perhitungan iterasi Relaksasi dengan ω = 1, 25 k
1 2
3 4
5 6
7 x
k 1
1 6,3125
2,6223 3,1333
2,9570 3,0037
2,9963 3,0000
x
k 2
1 3,5195
3,9585 4,0102
4,0075 4,0029
4,0009 4,0002
x
k 3
1 -6,6501
-4,6004 -5,0967
-4,9735 -5,0057
-4,9983 -5,0003
Dari kasus ini, bisa kita simpulkan bahwa iterasi Relaksasi memerlukan proses iterasi yang lebih singkat dibandingkan iterasi Gauss-Seidel. Jadi, pada kasus ini dan juga secara umum,
Relaksasi lebih efektif dibandingkan Gauss-Seidel. Pertanyaannya sekarang, bagaimana menen- tukan nilai ω optimal?
Metode Relaksasi dengan pilihan nilai ω yang berkisar antara 0 dan 1 disebut metode under- relaxation, dimana metode ini berguna agar sistem persamaan linear bisa mencapai kondisi
konvergen walaupun sistem tersebut sulit mencapai kondisi konvergen dengan metode Gauss-
