4.4. MATRIK DAN ELIMINASI GAUSS DALAM PYTHON
41 4. Selanjutnya adalah proses backward-substitution. Melalui proses ini, yang pertama kali
didapat solusinya adalah x
3
, kemudian x
2
, lalu diikuti x
1
, dan akhirnya x .
P
4
: x
3
= 4
2 = 2,
P
3
: x
2
= −4 + x
3
−1 = 2,
P
2
: x
1
= 6 + x
2
− x
3
2 = 3,
P
1
: x
= −8 + x
1
− 2x
2
+ x
3
= −7 Jadi solusinya adalah x
= −7, x
1
= 3, x
2
= 2 dan x
3
= 2.
Berdasarkan kedua contoh di atas, untuk mendapatkan solusi sistem persamaan linear, diper- lukan operasi triangularisasi dan proses backward-substitution. Kata backward-substitution
kalau diterjemahkan kedalam bahasa indonesia, menjadi substitusi-mundur. Gabungan pros- es triangularisasi dan substitusi-mundur untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dike-
nal sebagai metode eliminasi gauss.
4.4 Matrik dan Eliminasi Gauss dalam Python
4.4.1 Matrik augmentasi
Matrik bisa digunakan untuk menyatakan suatu sistem persamaan linear. Sejenak, mari kita kembali lagi melihat sistem persamaan linear secara umum seperti berikut ini:
a
00
x + a
01
x
1
+ . . . + a
0n
x
n
= b a
10
x + a
11
x
1
+ . . . + a
1n
x
n
= b
1
. . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . .
a
n0
x + a
n1
x
1
+ . . . + a
nn
x
n
= b
n
Bentuk operasi matrik yang sesuai dengan sistem persamaan linear di atas adalah
a
00
a
01
. . . a
0n
a
10
a
11
. . . a
1n
.. .
.. .
.. .
a
n0
a
n1
. . . a
nn
x x
1
.. .
x
n
=
b
b
1
.. .
b
n
4.2
Dalam upaya mencari solusi suatu sistem persamaan linear menggunakan metode eliminasi gauss, bentuk operasi matrik di atas dimanipulasi menjadi matrik augment, yaitu suatu matrik
42
BAB 4. METODE ELIMINASI GAUSS
yang berukuran n x n + 1 seperti berikut ini:
a
00
a
01
. . . a
0n
| b a
10
a
11
. . . a
1n
| b
1
.. .
.. .
.. .
.. .
| ..
. a
n0
a
n1
. . . a
nn
| b
n
=⇒
a
00
a
01
. . . a
0n
| a
0,n+1
a
10
a
11
. . . a
1n
| a
1,n+1
.. .
.. .
.. .
| ..
. a
n0
a
n1
. . . a
nn
| a
n,n+1
4.3
4.4.2 Penerapan pada contoh pertama
Pada contoh pertama di atas, diketahui sistem persamaan linear yang terdiri dari empat buah persamaan yaitu P
1
, P
2
, P
3
, dan P
4
P
1
: x
+ x
1
+ 3x
3
= 4
P
2
: 2x
+ x
1
− x
2
+ x
3
= 1
P
3
: 3x
− x
1
− x
2
+ 2x
3
= -3
P
4
: −x
+ 2x
1
+ 3x
2
− x
3
= 4
Sistem persamaan linear tersebut dapat dinyatakan dalam operasi matrik
1
1 3
2 1
−1 1
3 −1 −1
2 −1
2 3
−1
x
x
1
x
2
x
3
=
4
1 −3
4
Setelah itu matrik augment disusun seperti ini perhatikan angka-angka indeks pada matriks disebelahnya
1 1
3 |
4 2
1 −1
1 |
1 3
−1 −1 2
| −3 −1
2 3
−1 | 4
⇒
a
00
a
01
a
02
a
03
| a
04
a
10
a
11
a
12
a
13
| a
14
a
20
a
21
a
22
a
23
| a
24
a
30
a
31
a
32
a
33
| a
34
Kemudian kita lakukan operasi triangularisai terhadap matrik augment, dimulai dari kolom pertama yang tujuannya untuk menghilangkan x
dari P
2
, P
3
, dan P
4
, yaitu P
2
: a
10
− a
10
a
00
a
00
x +
a
11
− a
10
a
00
a
01
x
1
+ a
12
− a
10
a
00
a
02
x
2
+ a
13
− a
10
a
00
a
03
x
3
= a
14
− a
10
a
00
a
04
P
3
: a
20
− a
20
a
00
a
00
x +
a
21
− a
20
a
00
a
01
x
1
+ a
22
− a
20
a
00
a
02
x
2
+ a
23
− a
20
a
00
a
03
x
3
= a
24
− a
20
a
00
a
04
P
4
: a
30
− a
30
a
00
a
00
x +
a
31
− a
30
a
00
a
01
x
1
+ a
32
− a
30
a
00
a
02
x
2
+ a
33
− a
30
a
00
a
03
x
3
= a
34
− a
30
a
00
a
04
Sekarang akan saya tulis source code Python untuk menyelesaikan perhitungan diatas. Saran saya, anda jangan hanya duduk sambil membaca buku ini, kalau bisa nyalakan komputerlaptop
dan ketik ulang source-code ini agar anda memperoleh feeling-nya OK, mari kita mulai..
