Aplikasi: Pengisian muatan pada kapasitor

132 BAB 9. DIFERENSIAL NUMERIK lalu menghitung k 2 k 2 = hf q + k 1 2 = h[m 1 − q + k 1 2 m 2 ] = 0, 1[1, 5 × 10 − 5 − 0, 0 + 0, 15 × 10 − 5 2 0, 25] = 0, 14813 × 10 − 5 dilanjutkan dengan k 3 k 3 = hf q + k 2 2 = h[m 1 − q + k 2 2 m 2 ] = 0, 1[1, 5 × 10 − 5 − 0, 0 + 0, 14813 × 10 − 5 2 0, 25] = 0, 14815 × 10 − 5 kemudian k 4 k 4 = hf q + k 3 = h[m 1 − q + k 3 m 2 ] = 0, 1[1, 5 × 10 − 5 − 0, 0 + 0, 14815 × 10 − 5 0, 25] = 0, 14630 × 10 − 5 akhirnya diperoleh q 1 q 1 = q + 1 6 k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 = 0, 0 + 1 6 0, 150 + 20, 14813 + 20, 14815 + 0, 14630 × 10 − 5 = 0, 14814 × 10 − 5 Selanjutnya q 2 dihitung. Tentu saja pada saat t 2 , dimana t 2 = 0, 2, namun sekali lagi, t 2 tidak terlibat dalam perhitungan ini. Dimulai menghitung k 1 kembali k 1 = hf q 1 = hm 1 − q 1 m 2 = 0, 11, 5 × 10 − 5 − 0, 14814 × 10 − 5 0, 25 = 0, 14630 × 10 − 5 9.2. METODE RUNGE KUTTA 133 lalu menghitung k 2 k 2 = hf q 1 + k 1 2 = h[m 1 − q 1 + k 1 2 m 2 ] = 0, 1[1, 5 × 10 − 5 − 0, 14814 × 10 − 5 + 0, 14630 × 10 − 5 2 0, 25] = 0, 14447 × 10 − 5 dilanjutkan dengan k 3 k 3 = hf q 1 + k 2 2 = h[m 1 − q 1 + k 2 2 m 2 ] = 0, 1[1, 5 × 10 − 5 − 0, 14814 × 10 − 5 + 0, 14447 × 10 − 5 2 0, 25] = 0, 14449 × 10 − 5 kemudian k 4 k 4 = hf q 1 + k 3 = h[m 1 − q 1 + k 3 m 2 ] = 0, 1[1, 5 × 10 − 5 − 0, 14814 × 10 − 5 + 0, 14449 × 10 − 5 0, 25] = 0, 14268 × 10 − 5 akhirnya diperoleh q 2 q 2 = q 1 + 1 6 k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 = 0, 14814 × 10 − 5 + 1 6 0, 14630 + 20, 14447 + 20, 14449 + 0, 14268 × 10 − 5 = 0, 29262 × 10 − 5 Dengan cara yang sama, q 3 , q 4 , q 5 dan seterusnya dapat dihitung. Berikut ini adalah script dalam matlab yang dipakai untuk menghitung q 1 clear all 2 clc 3 4 format long 5 6 b=1; batas akhir interval 7 a=0; batas awal interval 8 h=0.1; interval waktu 9 N=b-ah; nilai step-size 10 q0=0.0; muatan mula-mula 11 t0=0.0; waktu awal 12 134 BAB 9. DIFERENSIAL NUMERIK 13 perubahan t sesuai step-size h adalah: 14 for i=1:N 15 ti=a+ih; 16 end 17 18 solusinya: 19 k1=hfuturq0; 20 k2=hfuturq0+k12; 21 k3=hfuturq0+k22; 22 k4=hfuturq0+k3; 23 q1=q0+16k1+2k2+2k3+k4; 24 25 for i=2:N 26 k=i-1; 27 k1=hfuturqk; 28 k2=hfuturqk+k12; 29 k3=hfuturqk+k22; 30 k4=hfuturqk+k3; 31 qi=qk+16k1+2k2+2k3+k4; 32 end 33 q Adapun script fungsi turunannya futur.m adalah sebagai berikut: 1 function y=futurq 2 E=12; tegangan volt 3 R=800000; hambatan ohm 4 C=5e-6; kapasitansi farad 5 m1=ER; 6 m2=1RC; 7 y=m1-m2q; Tabel 9.3: Perbandingan antara hasil perhitungan numerik lewat metode Runge Kutta dan hasil perhitungan dari solusi exact, yaitu persamaan 9.16 i t i q i q exact = qt i |q i − q exact | 0,0 0,00000 ×10 − 5 0,00000 ×10 − 5 0,00000 1 0,1 0,14814 ×10 − 5 0,14814 ×10 − 5 0,00000 2 0,2 0,29262 ×10 − 5 0,29262 ×10 − 5 0,00000 3 0,3 0,43354 ×10 − 5 0,43354 ×10 − 5 0,00000 4 0,4 0,57098 ×10 − 5 0,57098 ×10 − 5 0,00000 5 0,5 0,70502 ×10 − 5 0,70502 ×10 − 5 0,00000 6 0,6 0,83575 ×10 − 5 0,83575 ×10 − 5 0,00000 7 0,7 0,96326 ×10 − 5 0,96326 ×10 − 5 0,00000 8 0,8 1,0876 ×10 − 5 1,0876 ×10 − 5 0,00000 9 0,9 1,2089 ×10 − 5 1,2089 ×10 − 5 0,00000 10 1,0 1,3272 ×10 − 5 1,3272 ×10 − 5 0,00000 Luar biasa Tak ada error sama sekali. Mungkin, kalau kita buat 7 angka dibelakang koma, error nya akan terlihat. Tapi kalau anda cukup puas dengan 5 angka dibelakang koma, hasil ini sangat memuaskan. Gambar 9.5 memperlihatkan kurva penumpukan muatan q terhadap waktu t – dengan batas atas interval waktu dinaikkan hingga 20 –. 9.3. METODE FINITE DIFFERENCE 135 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 2 4 6 x 10 −5 Gambar 9.5: Kurva pengisian muatan q charging terhadap waktu t Sampai disini mudah-mudahan jelas dan bisa dimengerti. Silakan anda coba untuk kasus yang lain, misalnya proses pembuangan discharging q pada rangkaian yang sama, atau bisa juga anda berlatih dengan rangkaian RL dan RLC. Saya akhiri dulu uraian saya sampai disini.

9.3 Metode

Finite Difference Suatu persamaan diferensial dapat dinyatakan sebagai berikut: d 2 y dx 2 x = px dy dx x + qxyx + rx, a ≤ x ≤ b, ya = α, yb = β 9.17 dimana a, b, α dan β adalah konstanta-konstanta yang sudah diketahui nilainya. Persamaan 9.17 dapat dinyatakan sebagai berikut y ′′ = pxy ′ + qxy + rx 9.18 Persamaan 9.18 dapat diselesaikan melalui pendekatan numerik terhadap y ′′ dan y ′ . Caranya adalah pertama, kita menentukan sebuah angka integer 2 sembarang yang diberi nama N , di- mana nilai N harus lebih besar dari nol, N 0. Kemudian nilai interval h ditentukan dengan cara h = b − a N + 1 9.19 2 integer = bilangan asli yaitu 1,2,3,4,..dan seterusnya 136 BAB 9. DIFERENSIAL NUMERIK Gambar 9.6: Kurva suatu fungsi f x yang dibagi sama besar berjarak h. Evaluasi kurva yang dilakukan Finite-Difference dimulai dari batas bawah X = a hingga batas atas x 6 = b Lihat Gambar 9.6. Titik-titik x yang merupakan sub-interval antara a dan b dapat dinyatakan sebagai x i = a + ih, i = 0, 1, ..., N + 1 9.20 Pencarian solusi persamaan diferensial melalui pendekatan numerik dilakukan dengan me- manfaatkan polinomial Taylor untuk mengevaluasi y ′′ dan y ′ pada x i+1 dan x i−1 seperti berikut ini yx i+1 = yx i + h = yx i + hy ′ x i + h 2 2 y ′′ x i 9.21 dan yx i−1 = yx i − h = yx i − hy ′ x i + h 2 2 y ′′ x i 9.22 Jika kedua persamaan ini dijumlahkan, maka akan diperoleh yx i+1 + yx i−1 = 2yx i + h 2 y ′′ x i Dari sini y ′′ x i dapat diturunkan rumusnya melalui langkah-langkah berikut h 2 y ′′ x i = yx i+1 − 2yx i + yx i−1 y ′′ x i = yx i+1 − 2yx i + yx i−1 h 2 9.23 Dengan cara yang sama, y ′ x i dapat dicari dengan menerapkan operasi pengurangan pada persamaan 9.21 dan 9.22, sehingga diperoleh y ′ x i = yx i+1 − yx i−1 2h 9.24 9.3. METODE FINITE DIFFERENCE 137 Selanjutnya persamaan 9.23 dan 9.24 disubstitusikan kedalam persamaan 9.18 yx i+1 − 2yx i + yx i−1 h 2 = px i yx i+1 − yx i−1 2h + qx i yx i + rx i −yx i+1 + 2yx i − yx i−1 h 2 = −px i yx i+1 − yx i−1 2h − qx i yx i − rx i −yx i+1 + 2yx i − yx i−1 h 2 + px i yx i+1 − yx i−1 2h + qx i yx i = −rx i 9.25 Sebelum dilanjut, saya ingin menyatakan bahwa w i+1 = yx i+1 w i = yx i w i−1 = yx i−1 sehingga persamaan 9.25 di atas dapat ditulis sebagai berikut −w i+1 + 2w i − w i−1 h 2 + px i w i+1 − w i−1 2h + qx i w i = −rx i −w i+1 + 2w i − w i−1 + h 2 px i w i+1 − w i−1 + h 2 qx i w i = −h 2 rx i −w i+1 + 2w i − w i−1 + h 2 px i w i+1 − h 2 px i w i−1 + h 2 qx i w i = −h 2 rx i −w i−1 − h 2 px i w i−1 + 2w i + h 2 qx i w i − w i+1 + h 2 px i w i+1 = −h 2 rx i − 1 + h 2 px i w i−1 + 2 + h 2 qx i w i − 1 − h 2 px i w i+1 = −h 2 rx i 9.26 Persamaan 9.26 dikenal sebagai persamaan finite difference 1 dimensi, dimana i=1,2,3...sampai N . Mengapa i=0 dan i=N +1 tidak dimasukkan? Karena yang ingin kita cari adalah w 1 , w 2 , w 3 , dan seterusnya sampai w N . Sementara, w dan w N +1 biasanya sudah diketahui sebelumnya, yaitu w =α dan w N +1 =β. Keduanya dikenal sebagai syarat batas atau istilah asingnya adalah boundary value . Oleh karena itu, topik yang sedang dibahas ini sering juga disebut sebagai Masalah Syarat Batas atau Boundary Value Problem. Sampai disini kita mendapatkan sistem persamaan linear yang selanjutnya dapat diny- atakan sebagai bentuk operasi matrik Aw = b 9.27 dimana A adalah matrik tridiagonal dengan orde N × N A =         2 + h 2 qx 1 − 1 + h 2 px 1 . . . . . . . . . − 1 − h 2 px 2 2 + h 2 qx 2 − 1 + h 2 px 2 . . . . . . − 1 − h 2 px 3 2 + h 2 qx 3 − 1 + h 2 px 3 . . . − 1 − h 2 px 4 2 + h 2 qx 4 − 1 + h 2 px 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . − 1 − h 2 px N −1 2 + h 2 qx N −1 − 1 + h 2 px N −1 . . . . . . . . . . . . − 1 − h 2 px N 2 + h 2 qx N        