Algoritma Iterasi Relaksasi Iterasi dengan Relaksasi

Bab 8 Interpolasi ✍ Objektif : ⊲ Mengenalkan Interpolasi Lagrange ⊲ Mengenalkan Interpolasi Spline-cubic

8.1 Interpolasi Lagrange

Interpolasi Lagrange diterapkan untuk mendapatkan fungsi polinomial P x berderajat ter- tentu yang melewati sejumlah titik data. Misalnya, kita ingin mendapatkan fungsi polinomial berderajat satu yang melewati dua buah titik yaitu x , y dan x 1 , y 1 . Langkah pertama yang kita lakukan adalah mendefinisikan fungsi berikut L x = x − x 1 x − x 1 dan L 1 x = x − x x 1 − x kemudian kita definisikan fungsi polinomial sebagai berikut P x = L xy + L 1 xy 1 Jika semua persamaan diatas kita gabungkan, maka akan didapat P x = L xy + L 1 xy 1 P x = x − x 1 x − x 1 y + x − x x 1 − x y 1 dan ketika x = x P x = x − x 1 x − x 1 y + x − x x 1 − x y 1 = y 111 112 BAB 8. INTERPOLASI dan pada saat x = x 1 P x 1 = x 1 − x 1 x − x 1 y + x 1 − x x 1 − x y 1 = y 1 dari contoh ini, kira-kira apa kesimpulan sementara anda? Ya.. kita bisa sepakat bahwa fungsi polinomial P x = x − x 1 x − x 1 y + x − x x 1 − x y 1 8.1 benar-benar melewati titik x , y dan x 1 , y 1 . Sekarang mari kita perhatikan lagi contoh lainnya. Misalnya ada tiga titik yaitu x , y , x 1 , y 1 dan x 2 , y 2 . Tentukanlah fungsi polinomial yang melewati ketiganya Dengan pola yang sama kita bisa awali langkah pertama yaitu mendefinisikan L x = x − x 1 x − x 2 x − x 1 x − x 2 lalu L 1 x = x − x x − x 2 x 1 − x x 1 − x 2 dan L 2 x = x − x x − x 1 x 2 − x x 2 − x 1 kemudian kita definisikan fungsi polinomial sebagai berikut P x = L xy + L 1 xy 1 + L 2 xy 2 Jika semua persamaan diatas kita gabungkan, maka akan didapat fungsi polinomial P x = x − x 1 x − x 2 x − x 1 x − x 2 y + x − x x − x 2 x 1 − x x 1 − x 2 y 1 + x − x x − x 1 x 2 − x x 2 − x 1 y 2 Kita uji sebentar. Ketika x = x P x = x − x 1 x − x 2 x − x 1 x − x 2 y + x − x x − x 2 x 1 − x x 1 − x 2 y 1 + x − x x − x 1 x 2 − x x 2 − x 1 y 2 = y pada saat x = x 1 P x 1 = x 1 − x 1 x 1 − x 2 x − x 1 x − x 2 y + x 1 − x x 1 − x 2 x 1 − x x 1 − x 2 y 1 + x 1 − x x 1 − x 1 x 2 − x x 2 − x 1 y 2 = y 1 pada saat x = x 2 P x 2 = x 2 − x 1 x 2 − x 2 x − x 1 x − x 2 y + x 2 − x x 2 − x 2 x 1 − x x 1 − x 2 y 1 + x 2 − x x 2 − x 1 x 2 − x x 2 − x 1 y 2 = y 2 8.2. INTERPOLASI CUBIC SPLINE 113 Terbukti bahwa fungsi polonomial P x = x − x 1 x − x 2 x − x 1 x − x 2 y + x − x x − x 2 x 1 − x x 1 − x 2 y 1 + x − x x − x 1 x 2 − x x 2 − x 1 y 2 8.2 melewati ketiga titik tadi. Kalau kita bandingkan antara persamaan 8.1 dan persamaan 8.2, terlihat bahwa derajat per- samaan 8.2 lebih tinggi dibandingkan dengan derajat persamaan 8.1. Hal ini terlihat dari x 2 pada persamaan 8.2 sementara pada persamaan 8.1 hanya ada x. persamaan 8.2 disebut funsi polinomial berderajat 2, sedangkan persamaan 8.1 disebut fungsi polinomial berderajat 1.

8.2 Interpolasi Cubic Spline

Gambar 8.1: Fungsi f x dengan sejumlah titik data Gambar 8.2: Pendekatan dengan polinomial cubic spline