36
BAB 4. METODE ELIMINASI GAUSS
4.2 Teknik penyederhanaan
Ada banyak jalan untuk menyederhanakan sistem persamaan linear. Namun tantangannya, kita ingin agar pekerjaan ini dilakukan oleh komputer. Oleh karena itu, kita harus menciptakan
algoritma yang nantinya bisa berjalan di komputer. Untuk mencapai tujuan itu, kita akan berpatokan pada tiga buah aturan operasi matematika, yaitu
• Persamaan P
i
dapat dikalikan dengan sembarang konstanta λ, lalu hasilnya ditempatkan di posisi persamaan P
i
. Simbol operasi ini adalah λP
i
→ P
i
. Contoh P
1
: x
+ x
1
+ 3x
3
= 4 jika λ = 2, maka
2P
1
: 2x
+ 2x
1
+ 6x
3
= 8 • Persamaan P
j
dapat dikalikan dengan sembarang konstanta λ kemudian dijumlahkan dengan persamaan P
i
, lalu hasilnya ditempatkan di posisi persamaan P
i
. Simbol operasi ini adalah P
i
− λP
j
→ P
i
. Contoh P
2
: 2x
+ x
1
− x
2
+ x
3
= 1 2P
1
: 2x
+ 2x
1
+ 6x
3
= 8 maka operasi P
2
− 2P
1
→ P
2
mengakibatkan perubahan pada P
2
menjadi P
2
: −x
1
− x
2
− 5x
3
= −7 dimana variabel x
berhasil dihilangkan dari P
2
. • Persamaan P
i
dan P
j
dapat bertukar posisi. Simbol operasi ini adalah P
i
↔ P
j
. Con- toh
P
2
: 2x
+ x
1
− x
2
+ x
3
= 1 P
3
: 3x
− x
1
− x
2
+ 2x
3
= −3 maka operasi P
2
↔ P
3
mengakibatkan pertukaran posisi masing-masing persamaan, menjadi
P
2
: 3x
− x
1
− x
2
+ 2x
3
= −3 P
3
: 2x
+ x
1
− x
2
+ x
3
= 1 Sebelum dilanjut, saya ingin mengajak anda untuk fokus memahami aturan operasi yang ked-
ua. Misalnya ada 2 persamaan linear yaitu
P
1
: 3x
+ 2x
1
− 5x
2
+ 8x
3
= 3 P
2
: 4x
+ 7x
1
− x
2
+ 6x
3
= 9
4.2. TEKNIK PENYEDERHANAAN
37 lalu anda diminta untuk menghilangkan variabel x
dari P
2
. Itu artinya, anda diminta untuk memodifikasi P
2
. Berdasarkan rumus operasi P
i
− λP
j
→ P
i
, maka operasi yang tepat adalah P
2
−
4 3
P
1
→ P
2
. Perhatikan Bilangan λ, yaitu
4 3
, harus dikalikan dengan P
1
, BUKAN dengan P
2
. Sedangkan angka
4 3
adalah satu-satunya angka yang bisa menghapus variabel x dari P
2
lewat operasi P
2
−
4 3
P
1
. Selengkapnya adalah sebagai berikut P
2
: 4x
+ 7x
1
− x
2
+ 6x
3
= 9 4
3 P
1
: 4
3 3x
+ 4
3 2x
1
− 4
3 5x
2
+ 4
3 8x
3
= 4
3 3
Kemudian, hasil operasi P
2
−
4 3
P
1
disimpan sebagai P
2
yang baru P
2
: 4 −
4 3
3 x
+ 7 −
4 3
2 x
1
− 1 −
4 3
5 x
2
+ 6 −
4 3
8 x
3
= 9 −
4 3
3 Dengan sendirinya x
akan lenyap dari P 2. Mudah-mudahan jelas sampai disini. Sekarang, mari kita tinjau hal yang sama, yaitu menghilangkan x
dari P
2
, namun meng- gunakan ’permainan’ indeks
1
. Secara umum, P
1
dan P
2
bisa dinyatakan sebagai P
1
: a
00
x + a
01
x
1
+ a
02
x
2
+ a
03
x
3
= a
04
P
2
: a
10
x + a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ a
13
x
3
= a
14
Agar x hilang dari P
2
, operasi yang benar adalah P
2
− λP
1
→ P
2
, dimana λ =
a
10
a
00
. Dengan demikian, P
2
yang baru akan memenuhi P
2
: a
10
− a
10
a
00
a
00
x +
a
11
− a
10
a
00
a
01
x
1
+ a
12
− a
10
a
00
a
02
x
2
+ a
13
− a
10
a
00
a
03
x
3
= a
14
− a
10
a
00
a
04
Perhatikanlah variasi indeks pada persamaan diatas. Semoga intuisi anda bisa menangkap keberadaan suatu pola perubahan indeks. Jika belum, mari kita kembangkan persoalan ini.
Sekarang saya sodorkan dihadapan anda tiga buah persamaan, yaitu P
1
, P
2
dan P
3
P
1
: a
00
x + a
01
x
1
+ a
02
x
2
+ a
03
x
3
= a
04
P
2
: a
10
x + a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ a
13
x
3
= a
14
P
3
: a
20
x + a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ a
23
x
3
= a
24
Bagaimana cara menghilangkan x dari P
3
dengan memanfaatkan P
1
??
1
Ingat Python memulai indeks-nya dari angka 0, bukan angka 1. Sehingga elemen pertama memiliki indeks a
00
, bukan a
11
sebagaimana yang berlaku di Matlab
Kategori