4.3. TRIANGULARISASI DAN SUBSTITUSI MUNDUR
39 akan seperti ini
P
1
: x
+ x
1
+ 3x
3
= 4, P
2
: −x
1
− x
2
− 5x
3
= −7, P
3
: 3x
2
+ 13x
3
= 13, P
4
: −13x
3
= −13 Seandainya x
2
masih ada di persamaan P
4
, maka diperlukan satu operasi lagi untuk menghilangkannya. Namun hasil operasi pada langkah ke-2 ternyata sudah otomatis
menghilangkan x
2
. Bentuk akhir dari keempat persamaan di atas, dikenal sebagai bentuk
triangular .
Sampai dengan langkah ke-2 ini, kita berhasil mendapatkan sistem persamaan linear yang lebih sederhana. Apa yang dimaksud dengan sederhana dalam konteks ini? Suatu
sistem persamaan linear dikatakan sederhana bila kita bisa mendapatkan angka-angka pengganti variabel x
, x
1
, x
2
dan x
3
dengan cara yang lebih mudah dibandingkan se- belum disederhanakan.
3. Selanjutnya kita jalankan proses backward-substitution. Melalui proses ini, yang perta-
ma kali didapat adalah nilai pengganti bagi variabel x
3
, kemudian x
2
, lalu diikuti x
1
, dan akhirnya x
. Oleh karena itu, saya balik urutan persamaannya. Mohon diperhatikan.. P
4
: x
3
= −13
−13 = 1,
P
3
: x
2
= 1
3 13 − 13x
3
= 1
3 13 − 13 = 0,
P
2
: x
1
= −−7 + 5x
3
+ x
2
= −−7 + 5 + 0 = 2, P
1
: x
= 4 − 3x
3
− x
1
= 4 − 3 − 2 = −1 Jadi solusinya adalah x
= −1, x
1
= 2, x
2
= 0 dan x
3
= 1. Coba sekarang anda cek, apakah semua solusi ini cocok dan tepat bila dimasukan ke sistem persamaan linear yang
belum disederhanakan?
OK, mudah-mudahan ngerti ya... Kalau belum paham, coba diulangi bacanya sekali lagi. Atau, sekarang kita beralih kecontoh yang lain.
40
BAB 4. METODE ELIMINASI GAUSS
4.3.2 Contoh kedua
Misalnya ada sistem persamaan linear, terdiri dari empat buah persamaan yaitu P
1
, P
2
, P
3
, dan P
4
seperti berikut ini: P
1
: x
− x
1
+ 2x
2
− x
3
= -8
P
2
: 2x
− 2x
1
+ 3x
2
− 3x
3
= -20
P
3
: x
+ x
1
+ x
2
= -2
P
4
: x
− x
1
+ 4x
2
+ 3x
3
= 4
Seperti contoh pertama, solusi sistem persamaan linear di atas akan dicari dengan langkah- langkah berikut ini:
1. Gunakan persamaan P
1
untuk menghilangkan x dari persamaan P
2
, P
3
dan P
4
dengan cara P
2
− 2P
1
→ P
2
, P
3
− P
1
→ P
3
dan P
4
− P
1
→ P
4
. Hasilnya akan seperti ini P
1
: x
− x
1
+ 2x
2
− x
3
= −8, P
2
: −x
2
− x
3
= −4, P
3
: 2x
1
− x
2
+ x
3
= 6, P
4
: 2x
2
+ 4x
3
= 12 Perhatikan persamaan P
2
Akibat dari langkah yang pertama tadi, selain x , ternyata
x
1
juga hilang dari persamaan P
2
. Kondisi ini bisa menggagalkan proses triangularisasi. Untuk itu, posisi P
2
mesti ditukar dengan persamaan yang berada dibawahnya, yaitu P
3
atau P
4
. Supaya proses triangularisasi dilanjutkan kembali, maka yang paling cocok adalah ditukar dengan P
3
. 2. Tukar posisi persamaan P
2
dengan persamaan P
3
, P
2
↔ P
3
. Hasilnya akan seperti ini P
1
: x
− x
1
+ 2x
2
− x
3
= −8, P
2
: 2x
1
− x
2
+ x
3
= 6, P
3
: −x
2
− x
3
= −4, P
4
: 2x
2
+ 4x
3
= 12 3. Gunakan persamaan P
3
untuk menghilangkan x
2
dari persamaan P
4
dengan cara P
4
+ 2P
3
→ P
4
. Hasilnya akan seperti ini P
1
: x
− x
1
+ 2x
2
− x
3
= −8, P
2
: 2x
1
− x
2
+ x
3
= 6, P
3
: −x
2
− x
3
= −4, P
4
: 2x
3
= 4 Sampai disini proses triangularisasi telah selesai.
4.4. MATRIK DAN ELIMINASI GAUSS DALAM PYTHON
41 4. Selanjutnya adalah proses backward-substitution. Melalui proses ini, yang pertama kali
didapat solusinya adalah x
3
, kemudian x
2
, lalu diikuti x
1
, dan akhirnya x .
P
4
: x
3
= 4
2 = 2,
P
3
: x
2
= −4 + x
3
−1 = 2,
P
2
: x
1
= 6 + x
2
− x
3
2 = 3,
P
1
: x
= −8 + x
1
− 2x
2
+ x
3
= −7 Jadi solusinya adalah x
= −7, x
1
= 3, x
2
= 2 dan x
3
= 2.
Berdasarkan kedua contoh di atas, untuk mendapatkan solusi sistem persamaan linear, diper- lukan operasi triangularisasi dan proses backward-substitution. Kata backward-substitution
kalau diterjemahkan kedalam bahasa indonesia, menjadi substitusi-mundur. Gabungan pros- es triangularisasi dan substitusi-mundur untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dike-
nal sebagai metode eliminasi gauss.
4.4 Matrik dan Eliminasi Gauss dalam Python
4.4.1 Matrik augmentasi
Matrik bisa digunakan untuk menyatakan suatu sistem persamaan linear. Sejenak, mari kita kembali lagi melihat sistem persamaan linear secara umum seperti berikut ini:
a
00
x + a
01
x
1
+ . . . + a
0n
x
n
= b a
10
x + a
11
x
1
+ . . . + a
1n
x
n
= b
1
. . . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . .
a
n0
x + a
n1
x
1
+ . . . + a
nn
x
n
= b
n
Bentuk operasi matrik yang sesuai dengan sistem persamaan linear di atas adalah
a
00
a
01
. . . a
0n
a
10
a
11
. . . a
1n
.. .
.. .
.. .
a
n0
a
n1
. . . a
nn
x x
1
.. .
x
n
=
b
b
1
.. .
b
n
4.2
Dalam upaya mencari solusi suatu sistem persamaan linear menggunakan metode eliminasi gauss, bentuk operasi matrik di atas dimanipulasi menjadi matrik augment, yaitu suatu matrik
