Script Forward-Difference Contoh ketiga:
160
BAB 9. DIFERENSIAL NUMERIK
coba sejenak anda bandingkan dengan formula forward-difference dalam λ sebagaimana diny- atakan oleh persamaan 9.52
1 − 2λ w
i,j
+ λw
i+1,j
+ λw
i−1,j
= w
i,j+1
O.K., mari kita kembali ke contoh soal kita yang tadi, dimana ada perubahan nilai k yang semula k = 0, 0005 menjadi k = 0, 01. Sementara α dan h nilainya tetap. Maka λ dapat
dihitung dengan persamaan 9.51 kembali
λ = α
2
k h
2
= 0, 1
0, 01
2
= 1 Berdasarkan persamaan 9.56, sistem persamaan linear mengalami sedikit perubahan
3w
1,j
− 1w
2,j
= w
1,j−1
+ 1w
0,j
3w
2,j
− 1w
3,j
− 1w
1,j
= w
2,j−1
3w
3,j
− 1w
4,j
− 1w
2,j
= w
3,j−1
3w
4,j
− 1w
5,j
− 1w
3,j
= w
4,j−1
3w
5,j
− 1w
6,j
− 1w
4,j
= w
5,j−1
3w
6,j
− 1w
7,j
− 1w
5,j
= w
6,j−1
3w
7,j
− 1w
8,j
− 1w
6,j
= w
7,j−1
3w
8,j
− 1w
9,j
− 1w
7,j
= w
8,j−1
3w
9,j
− 1w
8,j
= w
9,j−1
+ 1w
10,j
Syarat batas masih sama, yaitu w
0,j
= w
10,j
= 0. Lalu jika dinyatakan dalam bentuk operasi matrik
3 −1
−1 3
−1 −1
3 −1
−1 3
−1 −1
3 −1
−1 3
−1 −1
3 −1
−1 3
−1 −1
3
w
1,j
w
2,j
w
3,j
w
4,j
w
5,j
w
6,j
w
7,j
w
8,j
w
9,j
=
w
1,j−1
w
2,j−1
w
3,j−1
w
4,j−1
w
5,j−1
w
6,j−1
w
7,j−1
w
8,j−1
w
9,j−1
Persamaan matriks di atas dapat direpresentasikan sebagai
Aw
j
= w
j−1
9.57
9.6. PDP PARABOLIK
161 Perhitungan dimulai dari iterasi pertama, dimana j = 1
3 −1
−1 3
−1 −1
3 −1
−1 3
−1 −1
3 −1
−1 3
−1 −1
3 −1
−1 3
−1 −1
3
w
1,1
w
2,1
w
3,1
w
4,1
w
5,1
w
6,1
w
7,1
w
8,1
w
9,1
=
w
1,0
w
2,0
w
3,0
w
4,0
w
5,0
w
6,0
w
7,0
w
8,0
w
9,0
Dengan memasukan kondisi awal, ruas kanan menjadi
3
−1 −1
3 −1
−1 3
−1 −1
3 −1
−1 3
−1 −1
3 −1
−1 3
−1 −1
3 −1
−1 3
w
1,1
w
2,1
w
3,1
w
4,1
w
5,1
w
6,1
w
7,1
w
8,1
w
9,1
=
0, 3090
0, 5878 0, 8090
0, 9511 1, 0000
0, 9511 0, 8090
0, 5878 0, 3090
Berbeda dengan operasi matrik forward difference, operasi matrik backward difference ini bukan perkalian matrik biasa. Operasi matrik tersebut akan dipecahkan oleh metode Eliminasi Gauss
7
. Untuk jumlah iterasi hingga j = 50, perhitungannya dilakukan dalam script Matlab.