42
BAB 4. METODE ELIMINASI GAUSS
yang berukuran n x n + 1 seperti berikut ini:
a
00
a
01
. . . a
0n
| b a
10
a
11
. . . a
1n
| b
1
.. .
.. .
.. .
.. .
| ..
. a
n0
a
n1
. . . a
nn
| b
n
=⇒
a
00
a
01
. . . a
0n
| a
0,n+1
a
10
a
11
. . . a
1n
| a
1,n+1
.. .
.. .
.. .
| ..
. a
n0
a
n1
. . . a
nn
| a
n,n+1
4.3
4.4.2 Penerapan pada contoh pertama
Pada contoh pertama di atas, diketahui sistem persamaan linear yang terdiri dari empat buah persamaan yaitu P
1
, P
2
, P
3
, dan P
4
P
1
: x
+ x
1
+ 3x
3
= 4
P
2
: 2x
+ x
1
− x
2
+ x
3
= 1
P
3
: 3x
− x
1
− x
2
+ 2x
3
= -3
P
4
: −x
+ 2x
1
+ 3x
2
− x
3
= 4
Sistem persamaan linear tersebut dapat dinyatakan dalam operasi matrik
1
1 3
2 1
−1 1
3 −1 −1
2 −1
2 3
−1
x
x
1
x
2
x
3
=
4
1 −3
4
Setelah itu matrik augment disusun seperti ini perhatikan angka-angka indeks pada matriks disebelahnya
1 1
3 |
4 2
1 −1
1 |
1 3
−1 −1 2
| −3 −1
2 3
−1 | 4
⇒
a
00
a
01
a
02
a
03
| a
04
a
10
a
11
a
12
a
13
| a
14
a
20
a
21
a
22
a
23
| a
24
a
30
a
31
a
32
a
33
| a
34
Kemudian kita lakukan operasi triangularisai terhadap matrik augment, dimulai dari kolom pertama yang tujuannya untuk menghilangkan x
dari P
2
, P
3
, dan P
4
, yaitu P
2
: a
10
− a
10
a
00
a
00
x +
a
11
− a
10
a
00
a
01
x
1
+ a
12
− a
10
a
00
a
02
x
2
+ a
13
− a
10
a
00
a
03
x
3
= a
14
− a
10
a
00
a
04
P
3
: a
20
− a
20
a
00
a
00
x +
a
21
− a
20
a
00
a
01
x
1
+ a
22
− a
20
a
00
a
02
x
2
+ a
23
− a
20
a
00
a
03
x
3
= a
24
− a
20
a
00
a
04
P
4
: a
30
− a
30
a
00
a
00
x +
a
31
− a
30
a
00
a
01
x
1
+ a
32
− a
30
a
00
a
02
x
2
+ a
33
− a
30
a
00
a
03
x
3
= a
34
− a
30
a
00
a
04
Sekarang akan saya tulis source code Python untuk menyelesaikan perhitungan diatas. Saran saya, anda jangan hanya duduk sambil membaca buku ini, kalau bisa nyalakan komputerlaptop
dan ketik ulang source-code ini agar anda memperoleh feeling-nya OK, mari kita mulai..
4.4. MATRIK DAN ELIMINASI GAUSS DALAM PYTHON
43
1
from numpy import array
2
A = array[[1.,1.,0.,3.,4],\
3
[2.,1.,-1.,1.,1],\
4
[3.,-1.,-1.,2.,-3],\
5
[-1.,2.,3.,-1,4]] Inisialisasi matrik Augmentasi
6 7
m=A[1,0]A[0,0] huruf m mewakili simbol lambda
8
A[1,0]=A[1,0]-mA[0,0]
9
A[1,1]=A[1,1]-mA[0,1]
10
A[1,2]=A[1,2]-mA[0,2]
11
A[1,3]=A[1,3]-mA[0,3]
12
A[1,4]=A[1,4]-mA[0,4]
13 14
m=A[2,0]A[0,0]
15
A[2,0]=A[2,0]-mA[0,0]
16
A[2,1]=A[2,1]-mA[0,1]
17
A[2,2]=A[2,2]-mA[0,2]
18
A[2,3]=A[2,3]-mA[0,3]
19
A[2,4]=A[2,4]-mA[0,4]
20 21
m=A[3,0]A[0,0]
22
A[3,0]=A[3,0]-mA[0,0]
23
A[3,1]=A[3,1]-mA[0,1]
24
A[3,2]=A[3,2]-mA[0,2]
25
A[3,3]=A[3,3]-mA[0,3]
26
A[3,4]=A[3,4]-mA[0,4]
Hasilnya akan seperti ini
1
1 3
| 4
0 −1 −1 −5 | −7
0 −4 −1 −7 | −15 3
3 2
| 8
⇒
a
00
a
01
a
02
a
03
| a
04
a
10
a
11
a
12
a
13
| a
14
a
20
a
21
a
22
a
23
| a
24
a
30
a
31
a
32
a
33
| a
34
Pada kolom pertama, seluruh elemen berubah menjadi nol a
10
= 0, a
20
= 0, dan a
30
= 0 kecuali elemen yang paling atas a
00
. Itu berarti kita sudah menghilangkan x dari P
2
, P
3
, dan P
4
. Sekarang dilanjutkan ke kolom kedua, dengan operasi yang hampir sama, untuk membuat elemen a
21
dan a
31
bernilai nol P
3
: a
20
− a
21
a
11
a
10
x +
a
21
− a
21
a
11
a
11
x
1
+ a
22
− a
21
a
11
a
12
x
2
+ a
23
− a
21
a
11
a
13
x
3
= a
24
− a
21
a
11
a
14
P
4
: a
30
− a
31
a
11
a
10
x +
a
31
− a
31
a
11
a
11
x
1
+ a
32
− a
31
a
11
a
12
x
2
+ a
33
− a
31
a
11
a
13
x
3
= a
34
− a
31
a
11
a
14
Source-code berikut ini adalah kelanjutan dari source-code diatas. Jadi jangan dipisah dalam file lain
1
m=A[2,1]A[1,1]
2
A[2,0]=A[2,0]-mA[1,0]
3
A[2,1]=A[2,1]-mA[1,1]
4
A[2,2]=A[2,2]-mA[1,2]
5
A[2,3]=A[2,3]-mA[1,3]
6
A[2,4]=A[2,4]-mA[1,4]
