8.2. INTERPOLASI CUBIC SPLINE
113 Terbukti bahwa fungsi polonomial
P x = x − x
1
x − x
2
x − x
1
x − x
2
y +
x − x x − x
2
x
1
− x x
1
− x
2
y
1
+ x − x
x − x
1
x
2
− x x
2
− x
1
y
2
8.2 melewati ketiga titik tadi.
Kalau kita bandingkan antara persamaan 8.1 dan persamaan 8.2, terlihat bahwa derajat per- samaan 8.2 lebih tinggi dibandingkan dengan derajat persamaan 8.1. Hal ini terlihat dari x
2
pada persamaan 8.2 sementara pada persamaan 8.1 hanya ada x. persamaan 8.2 disebut funsi polinomial berderajat 2, sedangkan persamaan 8.1 disebut fungsi polinomial berderajat
1.
8.2 Interpolasi Cubic Spline
Gambar 8.1: Fungsi f x dengan sejumlah titik data
Gambar 8.2: Pendekatan dengan polinomial cubic spline
114
BAB 8. INTERPOLASI
Diketahui suatu fungsi f x Figure 8.1 yang dibatasi oleh interval a dan b, dan memiliki sejumlah titik data a = x
x
1
... x
n
= b. Interpolasi cubic spline Sx adalah sebuah po- tongan fungsi polinomial kecil-kecil Figure 8.2 berderajat tiga
cubic
yang menghubungkan dua titik data yang bersebelahan dengan ketentuan sebagai berikut:
1. S
j
x adalah potongan fungsi yang berada pada sub-interval dari x
j
hingga x
j+1
untuk nilai j = 0, 1, ..., n
− 1; 2. Sx
j
= f x
j
, artinya pada setiap titik data x
j
, nilai f x
j
bersesuaian dengan Sx
j
dimana j = 0, 1, ..., n; 3. S
j+1
x
j+1
= S
j
x
j+1
. Perhatikan titik x
j+1
pada Figure 8.2. Ya.. tentu saja jika fungsi itu kontinyu, maka titik x
j+1
menjadi titik sambungan antara S
j
dan S
j+1
. 4. S
′ j+1
x
j+1
= S
′ j
x
j+1
, artinya kontinyuitas menuntut turunan pertama dari S
j
dan S
j+1
pada titik x
j+1
harus bersesuaian. 5. S
′′ j+1
x
j+1
= S
′′ j
x
j+1
, artinya kontinyuitas menuntut turunan kedua dari S
j
dan S
j+1
pada titik x
j+1
harus bersesuaian juga. 6. Salah satu syarat batas diantara 2 syarat batas x
dan x
n
berikut ini mesti terpenuhi: • S
′′
x = S
′′
x
n
= 0 ini disebut
natural boundary
• S
′
x = f
′
x dan S
′
x
n
= f
′
x
n
ini disebut
clamped boundary
Polinomial cubic spline S polinomial pangkat 3 untuk suatu fungsi f berdasarkan ketentuan di atas adalah
S
j
x = a
j
+ b
j
x − x
j
+ c
j
x − x
j 2
+ d
j
x − x
j 3
8.3 dimana j = 0, 1, ..., n
− 1. Maka ketika x = x
j
S
j
x
j
= a
j
+ b
j
x
j
− x
j
+ c
j
x
j
− x
j 2
+ d
j
x
j
− x
j 3
S
j
x
j
= a
j
= f x
j
Itu artinya, a
j
selalu jadi pasangan titik data dari x
j
. Dengan pola ini maka pasangan titik data x
j+1
adalah a
j+1
, konsekuensinya Sx
j+1
= a
j+1
. Berdasarkan ketentuan 3, yaitu ketika
x = x
j+1
dimasukan ke persamaan 13.7 a
j+1
= S
j+1
x
j+1
= S
j
x
j+1
= a
j
+ b
j
x
j+1
− x
j
+ c
j
x
j+1
− x
j 2
+ d
j
x
j+1
− x
j 3
dimana j = 0, 1, ..., n − 2. Sekarang, kita nyatakan h
j
= x
j+1
− x
j
, sehingga a
j+1
= a
j
+ b
j
h
j
+ c
j
h
2 j
+ d
j
h
3 j
8.4 Kemudian, turunan pertama dari persamaan 13.7 adalah
S
′ j
x = b
j
+ 2c
j
x − x
j
+ 3d
j
x − x
j 2
8.2. INTERPOLASI CUBIC SPLINE
115 ketika x = x
j
, S
′ j
x
j
= b
j
+ 2c
j
x
j
− x
j
+ 3d
j
x
j
− x
j 2
= b
j
dan ketika x = x
j+1
, b
j+1
= S
′ j
x
j+1
= b
j
+ 2c
j
x
j+1
− x
j
+ 3d
j
x
j+1
− x
j 2
Ini dapat dinyatakan sebagai b
j+1
= b
j
+ 2c
j
x
j+1
− x
j
+ 3d
j
x
j+1
− x
j 2
dan dinyatakan dalam h
j
b
j+1
= b
j
+ 2c
j
h
j
+ 3d
j
h
2 j
8.5 Berikutnya, kita hitung turunan kedua dari persamaan 13.7
S
′′ j
x = 2c
j
+ 6d
j
x − x
j
8.6 tapi dengan ketentuan tambahan yaitu S
′′
x2, sehingga persamaan ini dimodifikasi menjadi S
′′ j
x = c
j
+ 3d
j
x − x
j
dengan cara yang sama, ketika x = x
j
S
′′ j
x
j
= c
j
+ 3d
j
x
j
− x
j
= c
j
dan ketika x = x
j+1
c
j+1
= S
′′ j
x
j+1
= c
j
+ 3d
j
x
j+1
− x
j
c
j+1
= c
j
+ 3d
j
h
j
8.7 dan d
j
bisa dinyatakan d
j
= 1
3h
j
c
j+1
− c
j
dari sini, persamaan 8.4 dapat ditulis kembali a
j+1
= a
j
+ b
j
h
j
+ c
j
h
2 j
+ d
j
h
3 j
= a
j
+ b
j
h
j
+ c
j
h
2 j
+ h
2 j
3 c
j+1
− c
j
= a
j
+ b
j
h
j
+ h
2 j
3 2c
j
+ c
j+1
8.8
