10.3. METODE COMPOSITE-SIMPSON
173 dengan x
= 0, x
2
= 2, dan x
1
= a + h = 1 dimana h = b − a2 = 1. Tabel berikut ini memperlihatkan evaluasi integral numerik terhadap beberapa fungsi dalam
interval [0,2] beserta solusi exact-nya. Jelas terlihat, metode Simpson lebih baik dibanding Trapezoida. Karena hasil intergral numerik metode Simpson lebih mendekati nilai exact
f x x
2
x
4
1x + 1 √
1 + x
2
sin x e
x
Nilai exact 2,667
6,400 1,099
2,958 1,416
6,389 Trapezoida
4,000 16,000
1,333 3,326
0,909 8,389
Simpson 2,667
6,667 1,111
2,964 1,425
6,421
Kalau diamati lebih teliti, akan kita dapatkan bahwa interval [0,2] telah dibagi 2 pada metode Simpson, sementara pada metode Trapesoida tidak dibagi sama sekali. Sebenarnya dengan
membagi interval lebih kecil lagi, maka
error
-nya akan semakin kecil. Misalnya, banyaknya pembagian interval dinyatakan dengan n
ketika n = 1: Trapesioda Z
x
1
x
f xdx = h
2 [f x
+ f x
1
] − h
3
12 f
′′
ξ 10.5
ketika n = 2: Simpson Z
x
2
x
f xdx = h
3 [f x
+ 4f x
1
+ f x
2
] − h
5
90 f
4
ξ 10.6
ketika n = 3: Simpson tiga-per-delapan Z
x
3
x
f xdx = 3h
8 [f x
+ 3f x
1
+ 3f x
2
+ f x
3
] − 3h
5
80 f
4
ξ 10.7
ketika n = 4: Z
x
4
x
f xdx = 2h
45 [7f x
+ 32f x
1
+ 12f x
2
+ 32f x
3
+ 7f x
4
] − 8h
7
945 f
6
ξ 10.8
Keempat bentuk persamaan integral numerik di atas dikenal dengan closed Newton-Cotes formulas
. Keterbatasan metode Newton-Cotes terlihat dari jumlah pembagian interval. Di atas tadi pembagian interval baru sampai pada n = 4. Bagaimana bila interval evaluasinya
dipersempit supaya solusi numeriknya lebih mendekati solusi exact? Atau dengan kata lain n 4.
10.3 Metode Composite-Simpson
Persamaan 10.8 terlihat lebih rumit dibandingkan persamaan-persamaan sebelumnya. Bisakah anda bayangkan bentuk formulasi untuk n = 5 atau n = 6 dan seterusnya? Pasti akan lebih
kompleks dibandingkan persamaan 10.8.
174
BAB 10. INTEGRAL NUMERIK
x =a x =b
n
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
6
x
7
fx
h
Gambar 10.3:
Metode Composite Simpson. Kurva fungsi f x dengan batas bawah integral adalah a dan batas atas b. Luas area integrasi dipecah menjadi 8 area kecil dengan lebar masing-masing adalah
h.
Metode Composite Simpson menawarkan cara mudah menghitung intergal numerik ketika nilai n 4. Perhatikan contoh berikut, tentukan solusi numerik dari
R
4
e
x
dx. Metode Simpson dengan h = 2 atau interval evaluasi integral dibagi 2 , n = 2 memberikan hasil
Z
4
e
x
dx ≈ 2
3 e
+ 4e
2
+ e
4
= 56, 76958 Padahal solusi exact dari integral tersebut adalah e
4
− e = 53, 59815, artinya terdapat
er- ror
sebesar 3,17143 yang dinilai masih terlampau besar untuk ditolerir. Bandingkan dengan metode yang sama namun dengan h = 1 atau interval evaluasi integral dibagi 4 , n = 4
Z
4
e
x
dx = Z
2
e
x
dx + Z
4 2
e
x
dx ≈
1 3
e + 4e + e
2
+ 1
3 e
2
+ 4e
3
+ e
4
= 1
3 e
+ 4e + 2e
2
+ 4e
3
+ e
4
= 53, 86385 Hasil ini memperlihatkan
error
yang makin kecil, yaitu menjadi 0,26570. Jadi dengan mem- perkecil h,
error
menjadi semakin kecil dan itu artinya solusi integral numerik semakin mendekati solusi exact. Sekarang kita coba kecilkan lagi nilai h menjadi h =
1 2
atau interval evaluasi in- tegral dibagi 8 , n = 8,
Z
4
e
x
dx = Z
1
e
x
dx + Z
2 1
e
x
dx + Z
3 2
e
x
dx + Z
4 3
e
x
dx ≈
1 6
e + 4e
12
+ e +
1 6
e + 4e
32
+ e
2
+ 1
6 e
2
+ 4e
52
+ e
3
+ 1
6 e
3
+ 4e
72
+ e
4
= 1
6 e
+ 4e
12
+ 2e + 4e
32
+ 2e
2
+ 4e
52
+ 2e
3
+ 4e
72
+ e
4
= 53, 61622
10.4. ADAPTIVE QUARDRATURE
175 dan seperti yang sudah kita duga,
error
-nya semakin kecil menjadi 0,01807. Prosedur ini dapat digeneralisir menjadi suatu formula sebagai berikut
Z
b a
f xdx =
n2
X
j=1
Z
x
2j
x
2j−2
f xdx
=
n2
X
j=1
h 3
[f x
2j−2
+ 4f x
2j−1
+ f x
2j
] − h
5
90 f
4
ξ
j
10.9 dimana h = b
− an dan x
j
= a + jh, untuk j = 1, ..., n2, dengan x = a dan x
n
= b. Formula ini dapat direduksi menjadi
Z
b a
f xdx = h
3
f x
+ 2
n2−1
X
j=1
f x
2j
+ 4
n2
X
j=1
f x
2j−1
+ f x
n
− h
5
90
n2
X
j=1
f
4
ξ
j
10.10
Formula ini dikenal sebagai metode Composite Simpson.
10.4 Adaptive Quardrature
Metode composite mensyaratkan luas area integrasi dibagi menjadi sejumlah region dengan jarak interval yang seragam yaitu sebesar nilai h. Akibatnya, bila metode composite diterapkan
pada fungsi yang memiliki variasi yang tinggi dan rendah sekaligus, maka interval h yang kecil menjadi kurang efektif, sementara interval h yang besar mengundang error yang besar pula.
Metode Adaptive Quadrature muncul untuk mendapatkan langkah yang paling efektif dimana nilai interval h tidak dibuat seragam, melainkan mampu beradaptasi sesuai dengan tingkat
variasi kurva fungsinya.
Misalnya kita bermaksud mencari solusi numerik dari integral R
b a
f xdx dengan toleransi ǫ 0. Sebagai langkah awal adalah menerapkan metode Simpson dimana step size h = b −
a2 Z
b a
f xdx = Sa, b − h
5
90 f
4
µ 10.11
dengan Sa, b =
h 3
[f a + 4f a + h + f b] Langkah berikutnya adalah men
Z
b a
f xdx = h
6 f a + 4f
a + h
2 + 2f a + h + 4f
a + 3h
2 + f b
− h
2
4
b − a 180
f
4
˜ µ
10.12
