10.5. GAUSSIAN QUADRATURE
177 Untuk n = 3
Z
1,5 1
e
− x
2
dx ≈ 1
4 [0, 5555555556e
−0,7745966692+5
2
16
+ 0, 8888888889e
−5
2
16
+ 0, 5555555556e
−−0,7745966692+5
2
16
] = 0, 1093642 10.5.2
Latihan
Selesaikan integrasi berikut ini Z
0,35
2 x
2
− 4 dx
Selesaikan integrasi berikut ini Z
3,5 3
x √
x
2
− 4 dx
178
BAB 10. INTEGRAL NUMERIK
Latihan
1. Hitunglah integral-integral berikut ini dengan metode Composite Simpson a.
Z
2 1
x ln xdx, n = 4
b. Z
2
2 x
2
+ 4 dx,
n = 6 c.
Z
3 1
x x
2
+ 4 dx,
n = 8 d.
Z
2 −
2
x
3
e
x
dx, n = 4
e. Z
3π8
tan xdx, n = 8
f. Z
5 3
1 √
x
2
− 4 dx,
n = 8 2. Tentukan nilai n dan h untuk mengevaluasi
Z
2
e
2x
sin 3xdx dengan metode Composite Simpson, bila
error
yang ditolerir harus lebih kecil dari 10
− 4
. 3. Dalam durasi 84 detik, kecepatan sebuah mobil balap formula 1 yang sedang melaju di arena
grandprix dicatat dalam selang interval 6 detik:
timedt 6
12 18
24 30
36 42
48 54
60 66
72 78
84 speedf tdt
124 134
148 156
147 133
121 109
99 85
78 89
104 116
123 Gunakan metode integral numerik untuk menghitung panjang lintasan yang telah dilalui mo-
bil tersebut selama pencatatan waktu di atas
Bab 11
Mencari Akar
✍ Objektif :
⊲ Mencari akar
11.1 Metode Newton
Metode Newton sangat populer dan powerfull untuk mencari akar suatu fungsi yang kontinyu. Ada banyak jalan untuk memperkenalkan metode ini. Salah satunya bisa didahului mulai dari
deret Taylor atau polinomial Taylor. Suatu fungsi yang kontinyu dapat dinyatakan dalam deret Taylor sebagai berikut
f x = f ¯ x + x − ¯xf
′
¯ x +
x − ¯x
2
2 f
′′
ξx
0 = f ¯ x + p − ¯xf
′
¯ x +
p − ¯x
2
2 f
′′
ξp
0 = f ¯ x + p − ¯xf
′
¯ x
p − ¯x = − f x
f
′
¯ x
p ≈ ¯x − f x
f
′
¯ x
p
n
= p
n−1
− f p
n−1
f
′
p
n−1
, n ≥ 1
179
Gambar 11.1: Metode Newton
Bab 12
Metode Monte Carlo
✍ Objektif :
⊲ Mengenalkan metode Monte Carlo
12.1 Penyederhanaan
Kita awali pembahasan metode Monte Carlo dengan mengetengahkan contoh yang sangat terkenal yaitu menghitung luas suatu lingkaran. Fugure 1 memperlihatkan lingkaran den-
gan radius r = 1 berada di dalam kotak bujursangkar. Luas lingkaran adalah πr
2
= π1
2
= π sementara luas bujursangkar adalah 2
2
= 4. Rasio antara luas lingkaran dan luas bola adalah ρ =
luas lingkaran
luas bujursangkar
= π
4 = 0, 7853981633974483
12.1
Gambar 12.1: Lingkaran dan bujursangkar 181
182
BAB 12. METODE MONTE CARLO
Jadi, dengan mengetahui nilai ρ, maka kita bisa menghitung luas lingkaran dengan cara luas lingkaran = ρ × luas bujursangkar
12.2 Bayangkan anda punya satu set permainan dart. Anda lemparkan sejumlah dart ke arah
lingkaran tadi. Misalnya, total dart yang menancap di papan dart ada 1024 buah. Sebanyak 812 dart berada di dalam lingkaran, dan yang lainnya di luar lingkaran. Rasio antara keduanya
ρ = dart di dalam lingkaran
total dart di
dalam bujursangkar =
812 1024
= 0, 79296875 12.3
Gambar 12.2: Dart yang menancap pada bidang lingkaran dan bujursangkar
Dengan pendekatan ke persamaan 12.2 maka luas lingkaran adalah luas lingkaran = ρ × luas bujursangkar
= 0, 79296875 × 4 = 3, 171875
Apakah angka ini
make sense
? Mungkin anda masih ragu. Sekarang mari kita coba hitung ni- lai π dengan mengacu pada rumus di atas. Kita sepakati saja bahwa dart yang berada di dalam
lingkaran mesti memenuhi x
2 i
+ y
2 i
≤ 1. Dalam perhitungan, semua dart diganti dengan bi- langan acak
random number
. Dari 1000 dart, yang masuk lingkaran ada 787 buah, sehingga, mengacu persamaan 12.3
ρ = 787
1000 = 0, 787
maka berdasarkan persamaan 12.1 π = ρ × 4 = 0, 787 × 4 = 3, 148
12.1. PENYEDERHANAAN
183
Gambar 12.3: Dart yang menancap pada bidang 14 lingkaran dan bujursangkar Lumayan akurat bukan? Semakin banyak jumlah dart, semakin akurat nilai π yang anda per-
oleh. Sekarang mari kita kembangkan metode Monte Carlo ini untuk menghitung luas suatu area
yang terletak di bawah garis kurva suatu fungsi f x. Atau sebut saja menghitung integral suatu fungsi f x yang dievaluasi antara batas a dan b. Luas kotak R yang melingkupi luas
bidang integral A adalah
R = {x, y : a ≤ x ≤ b dan 0 ≤ y ≤ d}
12.4 dimana
d = maksimum f x ,
a ≤ x ≤ b 12.5
