44
3.4. Pendugaan Parameter Model dengan KMT
Nilai tengah atau total pada area kecil dapat diekspresikan sebagai kombinasi linear dari pengaruh tetap dan pengaruh acak. Prediksi tak-bias linear
terbaik PTLT, dilakukan dengan cara meminimumkan fungsi kuadrat tengah galat KTG. Sehingga penduga bagi PTLT akan memiliki KTG yang paling kecil
di antara semua penduga tidak bias linear. Metode kemungkinan maksimum terkendala KMT restricted maximum likelihood REML dapat digunakan
untuk menduga komponen ragam atau koragamnya. Penggunaan komponen dugaan ini dalam penduga PTLT akan diperoleh melalui dua tahap sehingga
disebut sebagai PTLT empirik atau PTLTE.
3.4.1. Penduga Tak-bias Linear Terbaik PTLT
Model linear campuran umum yang digunakan sebagai model dasar area- kecil dengan pengaruh acak area dan waktu di atas dapat dinyatakan sebagai
y = X
+ Zv + e dimana y =
it
ˆ , X = x
it1
, …, x
itT T
, Z
= 1
T
, I
T
, dan
v
T
= v
i
, u
i T
, e
= e
i1
, …, e
iT T
, =
1
, …,
p T
1
T
adalah T x 1 vektor 1 dan I
T
adalah matriks identitas berordo T.
Pada persamaan di atas, y adalah vektor dari pengamatan contoh, X dan Z adalah matriks yang diketahui, dan v dan e adalah saling bebas dengan nilai
tengah 0 dan matriks koragam G dan R, tergantung pada beberapa parameter
yang disebut sebagai komponen ragam. Ragam bagi y yaitu Vary = V = R + ZGZ
T
. Selanjutnya akan diduga kombinasi linear
= l
T
+ m
T
v
. Penduga linear yang diinginkan adalah bersifat tidak bias dan memiliki
ragam minimum. Suatu penduga linear
ˆ
= a
T
y + b adalah tidak bias bagi
= l
T
+ m
T
v berdasarkan model campuran di atas, yaitu E
ˆ
= E jika dan hanya
jika a
T
X = l
T
dan b = 0. Nilai KTG bagi penduga tidak bias linear
ˆ
dapat dinyatakan sebagai berikut:
KTG
ˆ
= E
ˆ
-
2
. Karena
ˆ
merupakan penduga tidak bias bagi
ˆ
maka 3.20
3.21
45 KTG
ˆ
= Var
ˆ
- = Var
ˆ
– 2Cov
ˆ
, + Var
dimana Var
ˆ
= Vara
T
y + b = a
T
Va
Cov
ˆ
,
= Cova
T
y , l
T
+ m
T
v = Cova
T
X + Zv + e, l
T
+ m
T
v = Cova
T
Zv , m
T
v = a
T
ZGm
Var
= Varl
T
+ m
T
v = Varm
T
v = m
T
Gm .
Berdasarkan hasil tersebut, KTG
ˆ
dapat dinyatakan sebagai berikut: KTG
ˆ
= a
T
Va - 2a
T
ZGm + m
T
Gm
. Selanjutnya KTG
ˆ
ini diminimumkan dengan kendala a
T
X = l
T
. Penyelesaiannya menggunakan metode pengganda Lagrange, yaitu
La, = a
T
Va - 2a
T
ZGm + m
T
Gm + 2a
T
X - l
T
La, a = 2Va - 2ZGm + 2X = 0 a
= V
-1
ZGm - V
-1
X .
Apabila persamaan 3.24 disubstitusikan ke dalam kendala a
T
X = l
T
, maka diperoleh penyelesaian bagi
yaitu
= -X
T
V
-1
X
-1
l + X
T
V
-1
X
-1
X
T
V
-1
ZGm .
Pengkombinasian persamaan 3.24 dengan 3.25 menghasilkan penduga PTLT bagi
= l
T
+ m
T
v , yaitu
ˆ
= a
T
y =
T
y + l
T
-
T
X
β
~
dimana
T
= m
T
GZV
-1
dan
β
~
= X
T
V
-1
X
-1
X
T
V
-1
y
β
~
yang diperoleh pada dasarnya dapat dianggap sebagai penduga kuadrat terkecil terboboti bagi
.
Untuk model regresi tersarang-galat nested-error, V = diagV
1
, ..., V
m
dengan V
i
=
e 2
i
n
I
+
2
T
i i
n n
1 1
, sehingga V
-1
= V
1 -1
, ..., V
m -1
dengan V
i -1
=
e 2
- 1
i
n
I
i
n
i -1
e 2
-1
T
i i
n n
1 1
dan
i
=
2
2
+
e 2
n
i -1
-1
, menggunakan konsep
kebalikan matriks : A + uv
T
= A
-1
A
-1
uv
T
A
-1
1 + v
T
A
-1
u
-1
. Oleh karena itu,
dengan mengambil l =
i
X
dan m = 0 ... 010 ... 0
T
yaitu 1 pada posisi ke-i dan 3.22
3.23
3.24
3.25
3.26
46
2
e 2
1
i
=
i
n
i
, maka diperoleh penduga tak-bias linear terbaik bagi
i
yaitu: h
, y = β
X ~
T
i
+
i
i
y
β x
~
T
i
dimana =
2
,
e 2
dan
i
x adalah rataan contoh dari x
ij
untuk area ke-i.
Sedangkan y =
col col
1 1
ij n
j m
i
y
i
dan X = col
col
T 1
1 ij
n j
m i
i
x
. Pendekatan yang sama dapat pula diterapkan pada model koefisien regresi
acak yang menghasilkan penduga tidak bias linear terbaik bagi
i
yaitu h
i
, y = β
X ~
T
i
+
i i
X
γ
i
β ~
β ~
dimana =
2
,
e 2
,
i
γ =
2
2
+
e 2
j
x
ij 2
-1
,
i
β ~
=
j
x
ij
y
ij
j
x
ij 2
, dan
β ~
=
i i
i
γ β
~ γ
. Untuk model Fay-Herriot, penduga tak-bias linear terbaik bagi
i
adalah sebagai berikut:
h
i
, y = β
x
~
T
i
+
2
2
+
i 2
i
y
β x
~
T
i
, dimana
β
~
= X
T
V
-1
X
-1
X
T
V
-1
y dengan V = diag
2
+
1 2
, ...,
2
+
m 2
, dan X
=
col
T 1
i m
i
x
. Nilai h
i
, y akan mendekati penduga survei langsung
i
y apabila
i 2
2
+
i 2
0, dan mendekati penduga sintetik
β x
~
T
i
apabila
2
2
+
i 2
0. Oleh karena itu penduga tak-bias linear terbaik adalah rataan terboboti antara
penduga survei langsung dan penduga sintetik, yaitu w
i
i
y + 1 w
i
β x
~
T
i
, dimana w
i
=
2
2
+
i 2
.
3.4.2. Pendugaan Dua Tahap