78 Penyelesaian terhadap berbagai persamaan di atas dalam bentuk integral
berdimensi tinggi membutuhkan metode numerik yang berbasis pada algoritma rekursif.
4.4. Bayes Berhirarki untuk Model State-Space
Sebagaimana dijabarkan pada Bab III, bahwa model state-space dapat dinyatakan sebagai bentuk model linear campuran terampat MCLT sebagai
model dasar area-kecil dengan pengaruh acak area dan waktu sebagai berikut :
y = X
+ Zv + e
dimana
y =
it
ˆ , X = z
i1
, …, z
iT T
, Z
= 1
T
, I
T
, dan
v
T
= v
i
, u
i T
, e
= e
i1
, …, e
iT T
, =
1
, …,
p T
1
T
adalah T x 1 vektor 1 dan I
T
adalah matriks identitas berordo T.
Pada persamaan di atas, y adalah vektor dari pengamatan contoh, X dan Z adalah matriks yang diketahui, dan v dan e adalah saling bebas dengan nilai
tengah 0 dan matriks koragam G dan R, tergantung pada beberapa parameter
yang disebut sebagai komponen ragam. Matriks koragam G dan R dapat
dinyatakan sebagai berikut :
G =
2 2
T v
, R
=
dimana
i
=
adalah T x T matriks koragam u
i
= u
i1
, …, u
iT T
dengan elemen ke-t,s adalah
|t-s|
1 -
2
. Model ini dapat dituliskan dalam formulasi Bayes sebagai berikut:
Level 1a : Y | v NX + Zv, R
Level 2a : v
N0, G.
Misalkan
= X + Zv maka Var = VarX + Zv = VarZv = ZGZ
T
. Berdasarkan
ini, model di atas dapat dituliskan menjadi
Level 1b : Y | N, R
Level 2b :
NX, ZGZ
T
. 4.22
79 Formulasi Bayes untuk model ini mirip dengan model pada 4.1 , sehingga
fungsi kepekatan peluang posteriornya
| Y, , ZGZ
T
merupakan sebaran Normal dengan nilai tengah
ZGZ
T
R + ZGZ
T -
1
Y + RR + ZGZ
T -
1
X .
Penduga Bayes,
B
θˆ , apabila diketahui Y, , dan dapat dinyatakan sebagai
berikut:
B
θˆ = E | Y, , = ZGZ
T
R + ZGZ
T -1
Y + RR + ZGZ
T -
1
X
Var
B
θˆ = Var | Y, , = ZGZ
T
R + ZGZ
T -
1
R .
Penduga Bayes di atas tergantung pada parameter dan yang secara
praktis tidak diketahui sehingga harus dilakukan pendugaan dari data. Pendugaan
tersebut dapat dilakukan berdasarkan sebaran marginal Y, yaitu Y
NX, R + ZGZ
T
. Proses pendugaan parameter
dan pada sebaran marginal Y ini dapat
menggunakan KMT. Misalkan penduganya adalah
βˆ
dan
ˆ , maka penduga Bayes empirik bagi
dapat diperoleh dengan mensubstitusikan
βˆ
pada dan
ˆ
pada , yaitu
EB
θˆ = ZGZ
T
R ˆ
+ Z G ˆ Z
T -1
Y +
R ˆ
R ˆ
+ Z G ˆ Z
T -
1
X
βˆ
Var
EB
θˆ = ZGˆ Z
T
R ˆ
+ Z G ˆ Z
T -
1
R ˆ
. Penduga model parameter,
ˆ , digunakan untuk memperoleh penduga bagi dua
buah komponen ragam, yaitu
R ˆ
dan G
ˆ . Pada metode Bayes berhirarki, untuk
= X + Zv maka Var = VarX + Zv
= VarZv = ZGZ
T
, maka model di atas dapat dituliskan menjadi
Level 1c : Y | N, R
Level 2c :
NX, ZGZ
T
Level 3c : fR
1, fG 1, dan f 1. Artinya, pada metode Bayes empirik, R, G, dan
dianggap sebagai
konstanta, sedangkan pada Bayes berhirarki R, G, dan
dianggap memiliki fungsi kepekatan tertentu.
4.23
4.24
4.25
4.26
80 Metode Bayes berhirarki atau dapat digunakan untuk mendapatkan ukuran
ketidakpastian pada statistik area kecil. Misalkan y
iT
adalah penduga langsung dari survei untuk area kecil ke-i pada periode T saat ini, sedangkan
iT
adalah nilai yang sesungguhnya untuk area kecil tersebut pada periode T. Statistik y
iT
diasumsikan sebagai penduga tidak bias bagi
iT
yaitu : y
iT
=
iT
+ e
iT
, dimana e
iT
adalah galat penarikan contoh dengan Ee
iT
|
iT
= 0. Vektor dari
peubah konkomitan tetap x
iT
= x
iT1
, ..., x
iTp T
yang berhubungan dengan
iT
adalah tersedia untuk semua area i pada waktu T.
Penduga regresi sintetik untuk
iT
didasarkan pada data cross-sectional {y
iT
, x
iT
, i = 1, 2, …, m untuk waktu T, diperoleh dengan mengasumsikan model deterministik untuk
iT
:
iT
= x
iT T
T
dimana
T
=
T1
, ...,
Tp T
adalah vektor koefisien regresi yang bisa dinyatakan sebagai berikut
T iT
iT
reg
β x
~ θ
~
T
dimana
T
β
~
merupakan penduga bagi
T
yang diperoleh dari pengkombinasian model di atas:
y
iT
= x
iT T
T
+ e
iT
, i = 1, …, m untuk satu waktu T saat ini.
Penduga sintetik di atas bisa menghasilkan bias rancangan substansial substantial design biases, karena pada model tersebut menggunakan pembobot
nol pada penduga langsung y
iT
. Kelemahan ini dapat diatasi melalui pendekatan Bayes empirik yang menghasilkan bias yang relatif kecil Rao dan Yu, 1994.
Model di atas yakni
iT
= x
iT T
T
dapat pula ditambahkan faktor ketidakpastian sebagai berikut:
iT
= x
iT T
T
+
iT
, dimana komponen galat
iT
merupakan peubah acak bebas dengan nilai tengah 0 dan ragam yang tidak diketahui
2 T
. Untuk galat penarikan contoh, diasumsikan bahwa e
iT
adalah peubah acak yang saling bebas dengan nilai tengah 0 dan ragam 4.27
4.28
4.29
4.30
81
2 iT
, dimana
2 iT
diketahui. Pengkombinasian model di atas dapat dinyatakan menjadi
y
iT
= x
iT T
T
+
iT
+ e
iT
. Berdasarkan model ini, penduga Bayes bagi
iT
dapat dinyatakan sebagai jumlah terboboti antara penduga langsung y
iT
dan penduga regresi sintetik
T iT
iT
reg
β x
ˆ θˆ
T
, yaitu
iT
θˆ
2 υ
σˆ
T
, y
T
=
iT
y
iT
+ 1–
iT
θˆ reg
iT
.
Pada persamaan ini y
T
= y
1T
, …, y
mT
,
iT
=
2 υ
σˆ
T 2
υ
σˆ
T
+
2 iT
,
T
βˆ
merupakan penduga kuadrat terkecil terboboti berdasarkan model 4.31 , dan
2 υ
σˆ
T
merupakan penduga bagi
2 υ
σ
T
. Prasad dan Rao 1990 melalui metode momen dapat memperoleh penduga bagi
2 υ
σ
T
. Perluasan dari model Fay-Herriot melalui pendekatan deret waktu dari
penduga langsung area akecil {y
it
} yang dihubungkan dengan data suplemen {x
it
}, dimana i =1, 2, …, m dan t = 1, 2, …, T. Asumsi yang digunakan adalah
y
it
=
it
+ e
it
dimana e
it
merupakan galat penarikan contoh dengan Ee
it
|
it
= 0. Model untuk SAE dapat dituliskan sebagai berikut :
it
= x
it T
+
i
+ u
it
, u
it
= u
i,t-1
+
it
, | | 1,
dimana x
it
= x
it1
, …, x
itp T
adalah vektor peubah konkomitan tetap untuk area ke-i pada waktu t,
i
N0,
2
,
it
N0,
2
, dan {
i
}, {
it
} adalah bebas. Pada model ini,
i
merupakan pengaruh acak area kecil, sedangkan u
it
mengikuti proses autoregresi. Model di atas dapat dijabarkan menjadi model distributed-lag, yaitu :
it
=
i,t-1
+ x
it
–
x
i,t-1 T
+ 1 –
i
+
it
. Pada model ini,
it
dihubungkan dengan nilai periode sebelumnya
i,t-1
, nilai
peubah penyerta x
it
dihubungkan dengan nilai periode sebelumnya x
i,t-1
, ditambah dengan pengaruh acak area
i
serta galat
it
. Choudhry dan Rao 1989 menggunakan galat komposit w
it
= e
it
+ u
it
sebagai autoregresi ordo satu dan mengasumsikan
it
= x
it T
+
i
. Modelnya dapat ditulis menjadi
4.31
4.32
4.33
4.34
82 y
it
= x
it T
+
i
+ w
it
, w
it
=
ρ~
w
i,t-1
+
it
ε~ . Mereka memperoleh penduga dua tahap untuk nilai tengah area kecil
it
melalui model tersebut dan mengevaluasi efisiensi relatifnya dengan penduga sintetik dan penduga langsung y
it
. Model yang dikembangkan oleh Choudhry dan Rao di atas tidak
memasukkan galat penarikan contoh, padahal secara realistik keberadaan galat penarikan contoh tidak bisa diabaikan. Pada penelitian ini, galat penarikan contoh
e
it
dimasukkan dalam model, yaitu: y
it
= x
it T
+
i
+ u
it
+ e
it
u
it
= u
i,t-1
+
it
, | | 1,
dimana galat penarikan contoh e
it
diasumsikan menyebar normal dengan nilai tengah nol dan matriks koragam blok-diagonal
dengan blok
i
matriks berukuran T x T diketahui. Maktriks koragam
i
untuk setiap area ke-i dan setiap waktu t dapat diperoleh melalui metode generalized variance function GVF.
Model di atas dapat dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai berikut :
Y = X
+ Zv + u + e
dengan
X = X
1 T
, …, X
m T
T
, X
i T
= x
i1
, ...., x
iT
, Z
= I
m
1
T
,
v =
1
, …,
m T
, u
= u
1 T
, …, u
m T
T
e = e
1 T
, …, e
m T
T
dimana u
i T
= u
i1
, …, u
iT
, e
i T
= e
i1
, ..., e
iT
, 1
T
adalah vektor satuan, dan I
m
adalah matriks identitas berordo m, dan
adalah perkalian Kronecker.
Ev = 0, Covv =
2
I
m
,
Eu = 0, Covu =
2
I
m
=
2
R ,
Ee = 0, Cove =
= blok-diagonal
1
, ...,
m
, dan v, u, dan e adalah bebas, dimana
adalah matriks T x T dengan elemen
|i-j|
1 – . Berdasarkan persamaan tersebut maka
Covy = V =
+
2
R +
2
ZZ
T
= blok-diagonal
i
+
2
+
2
J
T
= blok-diagonalV
i
4.35
4.36
4.37
4.38
4.39
83
dengan J
T
= 1
T
1
T T
. Nilai tengah area kecil pada satu waktu T,
iT
= x
iT T
+
i
+ u
iT
, merupakan kasus khusus dari kombinasi linear
= l
T
+ l
1 T
v + l
2 T
u yang dapat diduga
berdasarkan sebaran posteriornya pada pendekatan Bayes berhirarki dimana l = x
iT
, l
1
adalah vektor m dengan nilai 1 pada posisi ke-i dan 0 pada selainnya, serta
l
2
adalah vektor mT dengan nilai 1 pada posisi ke-iT dan 0 pada selainnya. Misalnya diasumsikan bahwa
2
,
2
, dan adalah diketahui, maka penduga
Bayes bagi adalah
τ~
= l
T
β
~
+
2
l
1 T
Z
T
+
2
l
2 T
R V
-1
y – X
β
~
dimana
β
~
= X
T
V
-1
X
-1
X
T
V
-1
y adalah penduga kuadrat terkecil terampat
generalized least-squares bagi
. Apabila menggunakan struktur l
1
, l
2
, Z, R, dan V
, maka dapat diperoleh bahwa
iT
θ ~
= a
2
,
2
,
, y = x
iT T
β
~
+
2
l
T
+
2
T T
i
+
2
+
2
J
T -1
y
i
– X
i
β
~
, dimana
T
adalah baris ke-T dari matriks . Penduganya mungkin juga ditulis
sebagai jumlah terboboti dari penduga langsung y
iT
, penduga sintetik x
iT T
β
~
, dan sisaan y
ij
– x
ij T
β
~
, j = 1, ..., T–1 :
iT
θ ~
= w
iT
y
iT
+ 1 – w
iT
x
iT T
β
~
+
1 1
T
, ~
T j
ij ij
ij
y w
β x
dimana w
i1
, …, w
iT
=
2
l
T
+
2
T T
V
i -1
. Secara praktis, parameter
2
,
2
, dan biasanya tidak diketahui. Misalkan
diasumsikan bahwa diketahui dan mengganti
2
dan
2
dengan penduganya yakni
ρ σˆ
2
,
ρ σˆ
2 υ
untuk memperoleh penduga ρ
θˆ
2 iT
. Penduga
2
dapat diperoleh dengan cara transformasi untuk mengeliminasi pengaruh acak
i
.
Pertama mentransformasi y
i
ke z
i
= Py
i
sehingga matriks koragam dari Pu
i
adalah
2
I
T
. Matriks P berukuran T x T, dimana elemen pada diagonal utamanya adalah
ρ 1
2
; elemen pada diagonal lainnya adalah 1; elemen pada posisi ke t + 1, t adalah –
untuk t = 1, ..., T–1; dan elemen lainnya adalah 0. 4.40
4.41
4.42
84
ρ 1
1 ρ
1 ρ
1 ρ
1 ρ
ρ 1
ρ 1
ρ 1
P
2 2
2 2
2
... .
... .
. .
. ...
... ...
...
Model hasil transformasi adalah
z
i
= PX
i
+ f
i
+ Pu
i
+ e
i
, i = 1, …, m,
dimana f = f
1
, …, f
T T
dengan f
1
=
ρ 1
2
dan f
t
= 1 – untuk 2 t T.
Selanjutnya dilakukan pentransformasian terhadap z
i
menjadi z
i 1
= I
T
– Dz
i
dimana D = ff
T
c dengan c = f
T
f = 1 –
{T – T – 2}. Hal ini menghasilkan model tereduksi sebagai berikut:
z
i 1
= H
i 1
+ e
i
, i = 1, …, m,
dimana
H
i 1
= I
T
– DPX
i
dan e
i
= I
T
– DPu
i
+ e
i
, dan
Cove
i
= I
T
– D
2
I
T
+ P
i
P
T
I
T
– D
T
. Nilai
2
dapat diduga melalui model tereduksi 4.44 menggunakan jumlah
kuadrat galatnya. Misalkan z
1
= [z
1 1
T
, …, z
m 1
T
]
T
, H
1
= [H
1 1
T
, …, H
m 1
T
], dan
e e
ˆ ˆ
T
adalah jumlah kuadrat galat yang diperoleh dengan
meregresikan antara z
1
dengan H
1
. Penduga tidak bias bagi
2
adalah ρ
σ~
2
=
e e
ˆ ˆ
T
– tr[{blok-diagonal
i
I
T
– D – H
1
H
1T
H
1 –
H
1T
x blok-diagonal
i
P
i
P
T
]{mT – 1 – rH
1
}
–1
,
dimana A
–
adalah kebalikan umum matriks A. Pada persamaan di atas,
e e
ˆ ˆ
T
=
e
i T
I
mT
– H
1
H
1T
H
1 –
H
1T
e
i
. 4.43
4.44
85 Nilai
2
dapat diduga dengan cara mentransformasi persamaan 4.43 ,
yaitu mengubah z
i
menjadi
2 1
c
f
T
z
i
sehingga u
i
=
2 1
c
f
T
Pu
i
mempunyai nilai tengah 0 dan ragam
2
. Model transformasi tersebut adalah
2 1
c
f
T
z
i
=
2 1
c
f
T
PX
i
+
2 1
c
i
+ u
i
+
2 1
c
f
T
Pe
i
dengan ragam galat c
2
+
2
+ c
-1
f
T
P
i
P
T
f . Misalkan
u u
ˆ ˆ
T
adalah jumlah kuadrat galat yang diperoleh dengan meregresikan
2 1
c
f
T
z
i
terhadap
2 1
c
f
T
PX
i
. Penduga tidak bias bagi
2
adalah
ρ σ~
2 υ
= c
-1
{m – rF}
-1
u u
ˆ ˆ
T
– tr[I
m
– FF
T
F
–
F
T
}diag
i
c
-1
f
T
P
i
P
T
f }
– c
-1
ρ σ~
2
,
dimana F = X
1 T
P
T
f , ..., X
m T
P
T
f
T
. Ketidakbiasan
ρ σ~
2 υ
terkait dengan nilai harapan
u u
ˆ ˆ
T
yaitu E
u u
ˆ ˆ
T
= c
2
+
2
{m – rF} + tr[{I
m
– FF
T
F
–
F
T
}diag
i
c
-1
f
T
P
i
P
T
f ].
4.5. Penduga Bagi KTG
