103
BAB V 5.
Pembahasan Umum
5.1. Pendahuluan
Berdasarkan hasil pada Bab III, penerapan metode pendugaan tidak langsung pada area kecil untuk data Susenas menunjukkan bahwa nilai AKTG-
nya lebih kecil dibandingkan dengan AKTG pada metode pendugaan langsung. Ini menunjukkan bahwa pengaruh acak area maupun pengaruh sintetik vektor
kovariat berfungsi mengkalibrasi hasil pendugaan langsung yang hanya didasarkan pada data survei semata. Informasi tambahan yang berupa nilai
parameter dari area kecil lain yang memiliki karakteristik serupa dengan area kecil yang menjadi perhatian maupun nilai dari peubah yang memiliki hubungan
dengan peubah yang sedang diamati secara statistik memiliki sifat penguatan borrowing strength dari hubungan antara nilai peubah respon dan informasi
tambahan tersebut. Pada data deret waktu Susenas AKTG lebih kecil pada metode pemodelan
area kecil PTLTE deret waktu dibandingkan dengan AKTG pada metode PTLTE penampang melintang. Ini menunjukkan bahwa pengaruh acak area dan waktu
maupun pengaruh sintetik vektor kovariat berfungsi memperbaiki hasil pendugaan metode PTLTE yang hanya didasarkan pada data survei pada satu tahun saja.
Berdasarkan data simulasi dapat diketahui bahwa nilai AKTGR metode PTLTE deret waktu cenderung jauh mengecil dibandingkan dengan nilai AKTGR metode
PTLTE penampang melintang pada waktu T dan korelasi diri yang sama-sama
besar. Hasil yang terdapat pada Bab IV menunjukkan pada data deret waktu
Susenas nilai AKTG lebih kecil pada metode pemodelan area kecil Bayes berhirarki
dibandingkan dengan
AKTG pada
metode PTLTE.
Hal ini
mengindikasikan bahwa metode Bayes berhirarki lebih baik daripada PTLTE dalam menurunkan AKTG. Penurunan AKTG ini sebagai akibat adanya
104 penguraian komponen ragam yang terdapat di dalam model, termasuk komponen
ragam yang diakibatkan oleh fluktuasi tingkat pengeluaran perkapita antar tahun.
5.2. Keunggulan Metode Bayes daripada Metode PTLT pada Model SAE Secara Analitik
Berdasarkan kajian data simulasi pada Bab IV, dapat diketahui bahwa metode Bayes berhirarki menghasilkan KTG yang lebih kecil daripada metode
PTLT pada model SAE yang memasukkan pengaruh acak area dan waktu. Pada bagian ini dibandingkan kedua metode tersebut melalui pendekatan analitik.
Misalkan y
itl
adalah nilai karakteristik yang menjadi perhatian pada unit ke- l, waktu ke-t, dan pada area kecil ke-i i = 1, 2, ..., m; t = 1, 2, ..., T; l = 1, 2, ...,
n
it
, =
1
,
2
, ...,
m T
, dan
2
=
1 2
,
2 2
, ...,
m 2
T
. Model hirarkinya dapat dinyatakan sebagai berikut:
Level 1 : y
itl
|
it
,
it 2
N
it
,
it 2
Level 2 :
it
| ,
2
Nx
i T
,
2
Level 3 :
it 2
p
it 2
, dimana p adalah suatu fungsi kepekatan peluang .
Apabila diketahui, maka PTLT bagi
it
adalah
PTLT it
ˆ
= x
i T
+
it PTLT
y
it.
- x
i T
dimana
it PTLT
= n
it
2
n
it
2
+ , = E
it 2
, dan y
it.
= n
it -1
y
itl
. Misalkan y = y
1t
, …, y
mt
dan y
it
= y
it1
, y
it2
, …, y
itni T
. Penduga Bayes bagi
it
adalah
BB it
ˆ = x
i T
+
it BB
y
it.
- x
i T
dimana
it BB
= E{n
it
2
n
it
2
+
it 2
|y}, E adalah nilai harapan berdasarkan sebaran posterior dari
it 2
, yaitu σ
σ σ
2 1
exp σ
σ |
σ
2 2
. 2
2 2
2 2
2 1
2 it
T i
it it
it it
it it
it it
n it
it it
it
p y
n n
S n
y f
it
β x
it 2
0, sedangkan
2 .
1 2
it n
l itl
it
y y
S
it
. 5.1
5.2
5.3
105 Karakteristik penduga Bayes dan PTLT di atas,
BB it
ˆ dan
PTLT it
ˆ , dapat
diperhatikan dalam tiga hal, yaitu bias, resiko berdasarkan KTG, dan kekonsistenan.
a Bias
Untuk penduga Bayes, E
BB it
ˆ = EE{
it
|y} = E
it
, sedangkan untuk penduga PTLT, E
PTLT it
ˆ
= x
i T
+
it PTLT
{Ey
it.
- x
i T
} = x
i T
= E
it
. Karena E
BB it
ˆ = E
it
dan E
PTLT it
ˆ = E
it
maka penduga Bayes dan penduga PTLT pada model SAE bersifat tidak bias, artinya bahwa
E
BB it
ˆ -
it
= 0 dan E
PTLT it
ˆ -
it
= 0.
b Resiko
Resiko suatu penduga dapat dinyatakan sebagai r
it
ˆ = E
it
ˆ -
it
2
, yaitu kuadrat tengah galat KTG bagi penduga tersebut. Perbedaan resiko antara
penduga PTLT dan penduga Bayes pada model SAE di atas dapat dinyatakan sebagai berikut:
r
PTLT it
ˆ – r
BB it
ˆ = E
PTLT it
ˆ -
it
2
- E
BB it
ˆ -
it
2
= E
PTLT it
ˆ -
BB it
ˆ
2
= E{
i PTLT
-
it BB
2
y
it.
- x
i T
2
}. Berdasarkan hasil tersebut, perbedaan resiko antara penduga PTLT dan
penduga Bayes tergantung pada selisih pembobotnya, yaitu
it PTLT
dan
it BB
ξ τ
τ γ
2 2
it it
PTLT it
n n
, = E
it 2
dan
y n
n E
it it
it BB
it
σ τ
τ γ
2 2
2
. Resiko penduga PTLT sama dengan penduga Bayes, jika dan hanya jika
pembobotnya sama besar yaitu 5.4
5.5
5.6
5.7
106 5.11
y
n n
E n
n
it it
it it
it
σ τ
τ ξ
τ τ
2 2
2 2
2
. Namun kondisi seperti ini, yaitu resiko penduga PTLT sama dengan
penduga Bayes, tidak mungkin dapat dipenuhi, karena menurut pertidaksamaan Jensen
E E
y E
.
Sehingga apabila pertidaksamaan Jensen ini diterapkan pada resiko penduga PTLT dan Bayes dapat dinyatakan sebagai berikut:
σ
τ τ
σ τ
τ
2 2
2 2
2 2
it it
it it
it it
E n
E n
E y
n n
E
ξ
τ τ
σ τ
τ
2 2
2 2
2 it
it it
it it
n n
y n
n E
PTLT it
BB it
γ γ
. Karena pembobot penduga Bayes lebih kecil daripada penduga PTLT,
PTLT it
BB it
γ γ
, maka resiko penduga Bayes berdasarkan pertidaksamaan tersebut lebih kecil daripada resiko penduga PTLT, yaitu
r
BB it
ˆ r
PTLT it
ˆ E
BB it
ˆ -
it
2
E
PTLT it
ˆ -
it
2
KTG
BB it
ˆ KTG
PTLT it
ˆ
c Konsisten
Apabila
n
ˆ merupakan penduga parameter yang ditentukan berdasarkan contoh berukuran n, maka
n
ˆ disebut penduga yang konsisten apabila
n
ˆ konvergen dalam peluang ke
untuk n , atau untuk setiap 0, |
ˆ |
lim
n n
P Hal ini dapat dipenuhi apabila
n
ˆ merupakan penduga yang tidak bias bagi dan ragamnya, Var
n
ˆ , mendekati nol untuk n . Dengan demikian, untuk nilai n yang cukup besar,
n
ˆ mendekati sifat suatu konstanta yang bernilai sama dengan parameter
. 5.8
5.9
5.10
107 5.12
Pada Bab III dan Bab IV telah dipaparkan bahwa ragam penduga PTLT
PTLT it
ˆ dan penduga Bayes berhirarki
BB it
ˆ lebih kecil daripada ragam penduga langsung
L it
ˆ , yaitu Var
L it
ˆ Var
PTLT it
ˆ Var
BB it
ˆ . Karena Var
L it
ˆ berbanding terbalik dengan n, maka
ˆ lim
ˆ lim
ˆ lim
BB it
n PTLT
it n
L it
n
Var Var
Var
Pada poin a di atas juga telah dijabarkan bahwa
PTLT it
ˆ dan
BB it
ˆ bersifat
tidak bias, maka sesuai dengan definisi di atas, penduga PTLT
PTLT it
ˆ dan
penduga Bayes berhirarki
BB it
ˆ merupakan penduga yang bersifat konsisten. Berdasarkan kajian analitik di atas, maka dapat disimpulkan bahwa pada
model SAE yang memasukkan pengaruh acak area dan waktu, penduga PTLT yang berbasis pada metode kemungkinan maksimum terbatas REML dan
penduga Bayes berhirarki sama-sama bersifat tidak bias dan konsisten. Namun, resiko atau KTG yang dihasilkan penduga Bayes lebih kecil daripada penduga
PTLT, artinya dalam hal ini penduga Bayes lebih baik daripada penduga PTLT.
5.3. Hasil Studi Kasus pada Data
Kategori