Pendahuluan Metode Bayes Empirik

68

BAB IV 4.

Metode Bayes Berhirarki untuk Pendugaan Area Kecil Berdasarkan Model State Space

4.1. Pendahuluan

Metode prediksi tak-bias linear terbaik PTLT yang dibahas pada Bab III banyak diaplikasikan pada SAE. Namun pada metode ini banyak kondisi tertentu yang harus dipenuhi, di antaranya adalah pengasumsian bahwa parameter peubah tetap  dan ragam penarikan contohnya adalah konstanta atau tidak memiliki fungsi sebaran tertentu. Padahal kenyataannya, sangat dimungkinkan parameter tersebut bukan suatu konstanta, melainkan memiliki suatu fungsi sebaran tertentu. Metode Bayes dapat digunakan untuk mengatasi persoalan tersebut. Sehingga motode Bayes lebih fleksibel daripada metode PTLT yang memerlukan berbagai kondisi tertentu. Secara umum pendekatan Bayes bertujuan untuk menentukan sebaran posterior, f |y,, dari parameter area kecil yang menjadi perhatian, , apabila diketahui data y, menggunakan fungsi kepekatan bersyarat, fy| , 1 dan fy| , 2 , dimana  =  1 T ,  2 T dinotasikan sebagai vektor parameter model. Selanjutnya menduga parameter model, , dari fungsi kepekatan marginal fy|. Terakhir adalah menggunakan penduga fungsi kepekatan posterior f |y, λˆ , untuk membuat inferensia tentang , dimana λˆ adalah penduga bagi .

4.2. Metode Bayes Empirik

Sebagaimana telah disebutkan di atas bahwa metode Bayes dapat digunakan pada berbagai kondisi data yang lebih luas dibandingkan dengan metode PTLT yang menggunakan pendekatan metode kemungkinan maksimum. Pada persoalan SAE, metode Bayes empirik pada dasarnya adalah sebagai berikut: 69 a Memperoleh fungsi kepekatan posterior posterior density, f y,, dari parameter yang menjadi perhatian yakni  untuk data y yang diberikan dengan menggunakan fungsi kepekatan bersyarat fy , 1 dan f  2 , dimana  =  1 T ,  2 T T merupakan vektor parameter model. b Menduga parameter model, , berdasarkan fungsi kepekatan marginal y , yaitu fy . c Menggunakan fungsi kepekatan posterior dugaan, f y,  ˆ , untuk membuat inferensi tentang , dimana  ˆ merupakan penduga bagi vektor parameter model . Fungsi kepekatan  sering diinterpretasikan sebagai fungsi kepekatan prior bagi  yang bisa divalidasi dari data. Pada Bayes empirik parametrik, parameter  diasumsikan menyebar f 2 . Sebaliknya, Bayes empirik non-parametrik tidak menspesifikasikan bentuk fungsi kepekatan prior bagi  Larid dan Louism, 1987; Zhang dan Davidian, 2001. Misalkan y ij i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, ..., n i adalah contoh acak dari area kecil ke-i pada unit ke-j digunakan untuk menduga parameter pada area kecil ke-i yaitu  i . Model yang digunakan adalah y ij =  i + e ij dan  i =  +  i , dimana e ij ~ N0,  i 2 dan  i ~ N0,  2 . Pendekatan Bayes pada model tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut: Level 1a : y ij |  i  N i ,  i 2 , dimana  i 2 diketahui. Level 2a :  i  N,  2 . Misalkan bahwa    i n j ij i i y n 1 1 θˆ , maka persamaan di atas dapat dituliskan sebagai berikut: Level 1b : i θˆ | i  N i ,  i 2 n i , dimana  i 2 n i diketahui. Level 2b :  i  N,  2 . Fungsi kepekatan peluang bersyarat bagi  i ketika diberikan data y i , berdasarkan model 1b dan 2b adalah: 70                 2 2 2 2 τ 2 α θ σ 2 θ θˆ exp τ 2 1 σ 2 1 θ θ | θˆ θ θ θ | θˆ θ θ | θˆ θˆ | θ i i i i i i i i i i i i i i i i i i i n n g f d g f g f k            2 2 2 2 2 2 2 τ σ 2 θ ασ τ θˆ 2 θ σ τ exp i i i i i i i i i n n n                                 i i i i i i i i i i i n n n n y σ τ τ σ 2 σ τ ασ τ θ 2 θ exp 2 2 2 2 2 2 2 2 2                                                    i i i i i i i i i i i i i i i n n n n n n σ τ τ σ 2 σ τ ασ τ θˆ σ τ ασ τ θˆ θ exp 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2                                                                         i i i i i i i i i i i i i i i i i i i n n n n n n n n σ τ τ σ 2 σ τ ασ τ θˆ θ exp σ τ τ σ 2 σ τ ασ τ θˆ exp 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2                                           i i i i i i i i i i n n n n σ τ τ σ 2 σ τ ασ τ θˆ θ exp 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . Berdasarkan persamaan 4.1 di atas, fungsi kepekatan peluang posterior bagi  i yaitu k  i  i θˆ merupakan sebaran normal dengan nilai tengah i i i i i i i i i i i i i i i i i i n α α n n n n n σ τ τ γ dimana γ 1 θˆ γ σ τ σ θˆ σ τ τ σ τ ασ τ θˆ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2                        4.1 4.2 71 Oleh karena itu, penduga Bayes bagi  i yaitu B i θˆ , apabila diketahui i θˆ , , dan  2 adalah B i θˆ = E i | i θˆ , ,  2 =  i i θˆ + 1 -  i  Var  i | i θˆ , ,  2 = σ γ σ τ τ σ 2 2 2 2 2 i i i i i i i n n n   . Pendekatan di atas dapat pula diterapkan pada model Fay-Herriot yang menjadi salah satu bentuk dasar model area kecil. Model tersebut adalah i θˆ =  i + e i dan  i = x i T  +  i atau i θˆ = x i T  +  i + e i dimana x i adalah vektor kovariat pada area yang berukuran p  1,  i ~ N0, 2   merupakan pengaruh acak area dan bebas dengan e i ~ N0,  i 2 ,  i 2 adalah ragam penarikan contoh, dan i θˆ adalah penduga langsung direct estimator berdasarkan metode penarikan contohnya. Pendekatan Bayes untuk model tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut: Level 1 sampling model : i θˆ | i  N i ,  i 2 , dimana  i 2 diketahui, Level 2 linking model :  i  Nx i T , 2   . Model ini sama dengan model di atas, sehingga berdasarkan pada persamaan 4.1 maka                                             2 2 ν 2 ν 2 2 2 2 ν 2 T 2 ν δ σ σ δ 2 δ σ δ σ θˆ θ exp θˆ | θ i i i i i i i i i k β x . Fungsi kepekatan peluang posterior bagi  i yaitu k  i  i θˆ merupakan sebaran normal dengan nilai tengah 2 2 ν 2 ν T T 2 2 ν 2 2 2 ν 2 ν 2 2 ν 2 T 2 ν δ σ σ γ dimana γ 1 θˆ γ δ σ δ θˆ δ σ σ δ σ δ σ θˆ i i i i i i i i i i i i i i i                        β x β x β x Oleh karena itu, penduga Bayes bagi  i yaitu B i θˆ , apabila diketahui i θˆ , , dan 2   adalah 4.3 4.4 72 B i θˆ = E i | i θˆ , , 2   = β x T γ 1 θˆ γ i i i i   Var  i | i θˆ , , 2   = 2 2 2 ν 2 ν 2 δ γ δ σ σ δ i i i i   . Penduga Bayes B i θˆ = B i θˆ , 2   tergantung pada parameter model  dan 2   yang dapat diduga dari sebaran marginal i θˆ ~ Nx i T , 2   +  i 2 menggunakan metode kemungkinan maksimum terkendala KMT restricted maximum likelihood REML. Apabila penduga parameter model dinotasikan sebagai βˆ dan 2 ˆ   maka akan diperoleh penduga Bayes empirik bagi i θˆ dari B i θˆ dengan mensubstitusikan βˆ pada  dan 2 ˆ   pada 2   , yaitu EB i θˆ = EB i θˆ βˆ , 2 ˆ   = β x ˆ γˆ 1 θˆ γˆ T i i i i   . Penduga Bayes empirik, EB i θˆ , identik dengan penduga PTLTE yang telah dibahas pada Bab III sebelumnya, apabila menggunakan asumsi kenormalan. Penduga Bayes empirik ini juga merupakan nilai harapan bagi fungsi kepekatan posterior dugaan, f  i | i θˆ , βˆ , 2 ˆ   . Metode Bayes empirik ini dapat diterapkan pada model berbasis area sebagai berikut :  i = z i T  + b i v i ,   i ˆ  i + e i = z i T  + b i v i + e i , i = 1, …, m v i  iid 0,  v 2 , e i  iid 0,  i , v i dan e i bebas. Persamaan ini menggambarkan hubungan antara penduga langsung, kovariat, dan penduga tidak langsung. Persamaan ini dapat pula diekspresikan sebagai berikut : i ˆ | i  iid N i ,  i  i  iid Nz i T , b i 2  v 2 . Pada persamaan ini,  i  iid Nz i T , b i 2  v 2 , disebut fungsi kepekatan prior. Penduga Bayes berdasarkan fungsi kepakatan posterior  i | i ˆ adalah  B i θˆ E  i | i ˆ , ,  v 2 =  i i ˆ + 1 -  i z i T   i = b i 2  v 2 b i 2  v 2 +  i . 4.5 4.6 4.7 4.8 73 Penduga Bayes B i θˆ tergantung pada parameter model  dan  v 2 yang diduga dari sebaran marginal i ˆ  iid Nz i T , b i 2  v 2 +  i menggunakan KMT. Karena  dan  v 2 diduga dari data, maka diperoleh penduga Bayes empirik sebagai berikut :  EB i θˆ E  i | i ˆ , βˆ , 2 ˆ v  = i γˆ i ˆ + 1 - i γˆ z i T βˆ i γˆ = b i 2 2 ˆ v  b i 2 2 ˆ v  +  i .

4.3. Metode Bayes Berhirarki