Evaluasi terhadap Penduga KTG Pada model campuran umum 3.20 di atas, y =

51 secara esensial ekuivalen dengan h i 2 ν σˆ , y , dan s i 2 = g 1i 2 ν σˆ + g 2i 2 ν σˆ + 2  4 2 ν σˆ +  2 -2 m -1 y i  β x ˆ T i 2 yang bersifat om -1 . Nilai s i 2 dapat direduksi menjadi g 1i 2 ν σˆ + g 2i 2 ν σˆ + g 3i 2 ν σˆ jika y i  β x ˆ T i 2 diganti dengan nilai rataannya yaitu y i  β x ˆ T i 2 m -1 . Penduga ini ekuivalen dengan penduga KTG yang diperoleh melalui pendekatan g 1i 2 ν σˆ yang tidak disesuaikan pada biasnya ke Om -1 . Prasad dan Rao 1990 serta Datta dan Lahiri 1995 mengajukan h i 2 ˆσ , y  z 2 ktg[h i 2 ˆσ , y] 12 sebagai selang kepercayaan pada model koefisien regresi acak dan model regresi galat tersarang, serta h i 2 ν σˆ , y  z 2 mse[h i 2 ν σˆ , y] untuk model Fay-Herriot.

3.6. Evaluasi terhadap Penduga KTG Pada model campuran umum 3.20 di atas, y =

col 1 i m i y   , X = col 1 i m i X   , Z = col 1 i m i Z   , v = col 1 i m i v   , dan e = col 1 i m i e   , dimana y i dan e i adalah n i  1 vektor acak, X i dan Z i adalah matriks konstanta yang diketahui dengan ukuran n i  k dan n i  b i , v i adalah b i  1 vektor acak, dan n = n i merupakan ukuran total contoh. Vektor v i dan e i adalah saling bebas dengan nilai tengah 0 dan matriks koragam G = col 1 i m i G   dan R = col 1 i m i R   dengan ukuran b i  b i dan n i  n i , tergantung pada parameter  =  1 , …,  p T yang disebut sebagai komponen ragam. Selanjutnya,  i = l i T  + m i T v dengan m i = col 1 ii ij i j m    , dimana  ij = 1 jika i = j dan  ij = 0 jika i  j, l i dan m ii adalah vektor konstanta yang diketahui dengan ukuran p  1 dan b i  1, dan  adalah vektor parameter berukuran p  1. Teorema A.1. Di bawah kondisi kenormalan untuk galat acak pada model 3.20 , maka E[d  T φˆ  ] 2 = tr[ b i T V b i T T E φˆ  φˆ   T ] + om -1 , A.1 dimana b i T = col T 1 j i p j      b dan b i T = m T GZ T V -1 . Untuk membuktikan Teorema A.1 diperlukan beberapa lemma. 3.47 52 Lemma A.1. Misalkan A 1 dan A 2 adalah matriks berordo n, dan u ~ N n 0, , dimana  adalah definit positif. Maka, E[uu T A s u u T ] = tr A s  + 2A s , s = 1, 2,         2 1 T s s E u A u = 2tr A 1  A 2  + tr A 1 tr A 2 , dan               T 2 1 T u u A u u s s E = tr A 1 tr A 2  + 2tr A 1 A 2  + 2tr A 2 A 1  + 2tr A 1 A 2  + 4 A 1 A 2  + 4A 2 A 1 . Lemma A.2. Misalkan u ~ N n 0, , z j =  j T u , dan q j = u T A j u , j = 1, …, p, dimana  j dan A j adalah matriks dengan ordo n  1 dan n  n. Maka, E[z T q  Eq] 2 = tr  z  q + 4    p j p l 1 1 {  j T A j A l  l +  j T A l A j  l } dimana z = z 1 , …, z p , q = q 1 , …, q p ,  z dan  q adalah matriks koragam bagi z dan q. Berdasarkan hasil 3.50 dan Lemma A.1, maka Eq i = tr A i , covq i , q j = 2tr A i A j , dan E[z i z j q i  Eq i q j  Eq j ] =  i T E[uu T A i uu T A j u u T ]  j  Eq i  i T E[uu T A j u u T ]  j  Eq j  i T E[uu T A i u u T ]  j + Eq i Eq j  i T  j . Lemma A.3. Misalkan a  n n = diag 1 i m i Σ   ; b C n n = ] [ ] [ diag 2 1 1      m O m O m i ; c r = ] [ col col 1 1 1      m O h n j m h ; d s i = ] 1 [ col col 1 1 O ih n j m h h      , dimana  i adalah matriks n i  n i . Selanjutnya e CC = [Om -2 ] n n ; f s i T s i = O1; g r + s i T CCr + s i = Om -2 . Berdasarkan penjabaran a  d akan diperoleh e  g. Lemma A.4. Misalkan d m j  adalah elemen ke-j dari d m  = t m , maka akan diperoleh cov[d m j , d m l ] = [b i T  j ]V[ b m T  l ] + Om -1 . 3.48 3.49 3.50 3.51 3.52 53 Hal ini berdasarkan konsep diferensial yaitu AB = AB + A B dan B -1  =  B -1 BB -1 . Selanjutnya bisa dituliskan bahwa d m j  = {f m j T + b i T  j }u, dimana u = Zv + e, dan f m j T = 1 T  m m T GZ T V -1 X X T V -1 X -1 X T [ V -1  j ]A  b m T  j XX T V -1 X -1 X T V -1 , dengan A = I  XX T V -1 X -1 X T V -1 . Dengan demikian bisa diperoleh bahwa cov[d m j , y, d m l , y] = [f i j T + b m T  j ]V[f i l T + b m T  l .] T Berdasarkan penjabaran di atas, elemen f m j bersifat Om -1 , b i T  j = T 1 ] 1 [col O il m l    , X X T V -1 X -1 X T = [Om -1 ] n n X X T V -1 X -1 X T V -1  j A = [Om -1 ] n n dan XX T V -1 X -1 X T V -1 = [Om -1 ] n n . Hasil yang ditunjukkan pada 3.47 diperoleh dari 3.53 , yaitu E[d m , y T φˆ  ] 2 = tr[A m E φˆ  φˆ   T ] + om -1 , dan selanjutnya menggunakan Lemma A.4 untuk menggantikan A m  dengan b m T V b m T T . Melalui penggunaan Lemma A.2 dengan  j T = f m j T + b m T  j =  j i T , z = d m ,  = V, A j = C j , dan q = φˆ , akan diperoleh E[d m , y T φˆ  ] 2 = tr[A m E φˆ  φˆ   T ] + 4    p j p l 1 1 [  j i T VC j VC l  l i +  j i T VC l VC j  l i] dimana  j i dan C j adalah bentuk r + s m dan C pada Lemma A.3. Pada bagian ini dijabarkan bahwa pendekatan deret Taylor untuk nilai harapan penduga parameter pada model Fay-Herriot adalah bersifat om -1 . Teorema A.2. Misalkan ragam  i 2 memenuhi 0  L 2   i 2   U 2  untuk semua i dan misalkan pula q i = x i T X T X -1 x i sedemikian hingga maks i 1 q i = Om -1 . Selanjutnya, E[h i 2 ν σˆ , y  h i 2 ν σ , y ] = E[ 2 ν σˆ  2 ν σ h i 2 ν σ , y  2 ν σ ] 2 + om -1 . Pembuktian Teorema A.2 membutuhkan dua Lemma yang terkait dengan persoalan tersebut. Lemma A.5. E 2 ν σˆ  2 ν σ 2s = Om -s s  1. Hal ini dapat dijelaskan sebagai berikut: 3.53 3.54 3.55 3.56 54 2 ν σˆ  2 ν σ = m  k -1 [  i y  x i T  2  β   T X T X β     2 ν σ +  i 2 1  q i ] = m  k -1 [ U i 2 ν σ +  i 2  T 2 ν σ +  i 2 q i ] dimana β = X T X -1 X T y , U i = i y  x i T  2 ν σ +  i 2  1 = i U ~  1 dengan EU i = 0, T = β   T X T X β   2 ν σ +  i 2 q i dengan ET = 0, dan T ~ = j k j j k V   1 1 λ λ , V j merupakan peubah  1 2 yang saling bebas, sedangkan  j merupakan akar ciri eigenvalues dari X T X -1 X T VX dan  j =  2 ν σ +  i 2 q i . Berdasarkan 3.57 , dapat diketahui bahwa E 2 ν σˆ  2 ν σ 2  2m  k -2 [E U i 2 ν σ +  i 2 2 + ET 2  2 ν σ +  i 2 q i 2 ] = Om -1 , karena ET 2 = O1,  2 ν σ +  i 2 q i = O1, dan E U i 2 ν σ +  i 2 2 = EU i 2 2 ν σ +  i 2 2  2 ν σ +  U 2 2 mEU i 2 = Om selanjutnya, E 2 ν σˆ  2 ν σ 2s  2sm  k -2s [E U i 2 ν σ +  i 2 2s + ET 2s  2 ν σ +  i 2 q i 2s ] = Om -s , s  2, sedangkan E U i 2 ν σ +  i 2 2s = Om s karena EU i = 0. Lemma A.6. E 2 ν σˆ  2 ν σ 2s = Om -s s  1 dan E 2 ν σˆ  2 ν σ~ 4 = Om -4 . Hal ini dapat dijelaskan sebagai berikut: P 2 ν σ~  0 = P 2 ν σ~  2 ν σ   2 ν σ  P| 2 ν σ~  2 ν σ |  2 ν σ  E 2 ν σ~  2 ν σ 2l l 2 ν σ dengan menggunakan pertidaksamaan Chebyshev. Berdasarkan Lemma A.5 maka P 2 ν σ~  0 = Om -1 untuk beberapa nilai l. E 2 ν σˆ  2 ν σ 2s = E[ 2 ν σˆ  2 ν σ 2s | 2 ν σ~ 0]P 2 ν σ~ 0 + E[ 2 ν σˆ  2 ν σ 2s | 2 ν σ~ 0]P 2 ν σ~  s 2 ν σ P 2 ν σ~ 0 + E 2 ν σ~  2 ν σ 2s = Om -1 , dengan cara memilih l = s dan menggunakan Lemma A.5. Selanjutnya dituliskan 2 ν σˆ  2 ν σ~ 4 = 4 ν σ~ W, dimana W = 1 jika 2 ν σ~  0 dan W = 0 jika 2 ν σ~ 0. Melalui pertidaksamaan Cauchy-Schwarz, diperoleh bahwa 3.57 3.58 55 E 2 ν σˆ  2 ν σ~ 4  [E 8 ν σ~ P 2 ν σ~ 0] 2 1 = Om -4 karena P 2 ν σ~  0 = Om -8 dan E 8 ν σ~  8[E 8 ν σ~  2 ν σ 8 + 8 ν σ ] + O1. Selanjutnya, Teorema A.2 di atas dapat dibuktikan sebagai berikut. Berdasarkan ekspansi deret Taylor dari fungsi h i 2 ν σˆ  y di sekitar 2 ν σ , dapat diperoleh bahwa h i 2 ν σˆ  y  h i 2 ν σ  y = 2 ν σˆ  2 ν σ h i 2 ν σ  y  2 ν σ + 0.5 2 ν σˆ  2 ν σ 2  2 h i 2 ν σ  y  2 ν σ 2 , dimana | 2 ν σ  2 ν σ | | 2 ν σˆ  2 ν σ |. Dengan demikian, maka E[h i 2 ν σˆ  y  h i 2 ν σ  y ] 2 = E[ 2 ν σˆ  2 ν σ h i 2 ν σ  y  2 ν σ ] 2 + R 1 + R 2 , dimana R 1 = E[ 2 ν σˆ  2 ν σ h i 2 ν σ  y  2 ν σ ][ 2 ν σˆ  2 ν σ 2  2 h i 2 ν σ  y  2 ν σ 2 ], dan R 2 = E[ 2 ν σˆ  2 ν σ 4 {  2 h i 2 ν σ  y  2 ν σ 2 } 2 ]. Dapat ditunjukkan bahwa R 2 bersifat om -1 , yaitu h i 2 ν σ  y  2 ν σ =  i 2 2 ν σ +  i 2 -1 x i T β ~  2 ν σ +  i 2 2 ν σ +  i 2 -2 i y  x i T β ~ , dimana β ~ = X T V -1 X -1 X T V -1 y dan x i T β ~  2 ν σ =  x i T X T V -1 X -1 X T V -2 u ~ , dengan u ~ = y  X β ~ . Hal ini berdasarkan pada teorema matriks, bahwa jika A dan B adalah matriks non-singular sedemikian hingga z T Az z T Bz , maka z T A -1 z z T B -1 z untuk setiap z  0 Graybill, 1969. Berdasarkan hasil ini dan pertidaksamaan Cauchy-Schwarz, dan T ~ u V -1 u ~  u T V -1 u , dimana u = y  X, akan diperoleh | x i T β ~  2 ν σ |  x i T X T V -1 X -1 x i 12 T ~ u V -3 u ~ 12  max q i 12 2 ν σ +  U 2 12  L -3 u T u 12 , sehingga | h i 2 ν σ  y  2 ν σ |  |x i T β ~  2 ν σ | +  L -2 | i y  x i T β ~ | , dimana | x i T β ~  2 ν σ | diberikan pada A.9. Turunan kedua dari h i 2 ν σ  y adalah 3.59 3.60 3.61 3.62 56  2 h i 2 ν σ  y  2 ν σ 2 =  i 2 2 ν σ +  i 2 -1  2 x i T β ~  2 ν σ 2  2 i 2 2 ν σ +  i 2 -2 x i T β ~  2 ν σ  2 i 2 2 ν σ +  i 2 -3 i y  x i T β ~ , dimana  2 x i T β ~  2 ν σ 2 = 2x i T X T V -1 X -1 X T V -3 u ~  2x i T X T V -1 X -1 X T V -2 X X T V -1 X -1 X T V -2 u ~ . Berdasarkan pertidaksamaan Cauchy-Schwarz dan hasil matriks di atas serta beberapa penyederhanaan, dapat diperoleh |  2 x i T β ~  2 ν σ 2 |  4max q i 12 2 ν σ +  U 2 12  L -5 u T u 12 , dan u ~ T V -2 X X T V -1 X -1 X T V -2 u ~  u ~ T V -3 u ~ , karena V 12 X X T V -1 X -1 X T V -12 adalah matriks simetrik dan idempoten dengan akar ciri 1 atau 0. Mengacu pada persamaan 3.61 dapat diperoleh bahwa |  2 h i 2 ν σ  y  2 ν σ 2 |  6max q i 12 2 ν σ +  U 2 12  L -5 u T u 12 + 2  L -4 | i y  x i T β ~ |. Oleh karena itu, [  2 h i 2 ν σ  y  2 ν σ 2 ] 2  c 1 2 ν σ +  U 2 1m u i 2 + c 2 i y  x i T β ~ 2 , dimana c 1 dan c 2 adalah O1, dan m max i q i = O1. Juga menyebabkan bahwa, i y  x i T β ~ 2  2[u i 2 + x i T β ~   2 ]  2[u i 2 + 2 ν σ +  U 2 m max i q i  L -2 1m u i 2 ], dengan menggunakan pertidaksamaan Cauchy-Schwarz pada x i T β ~   2 , dimana u i = y i  x i T . Selanjutnya, dari A.12 dapat diperoleh bahwa R 2  E[ 1 ~ c 2 ν σˆ  2 ν σ 4 2 ν σ +  U 2 1m u i 2 + 2c 2 2 ν σˆ  2 ν σ 4 u i 2 ], sedangkan 1 ~ c adalah O1. |E 2 ν σˆ  2 ν σ 4 2 ν σ +  U 2 1m u i 2 |  E| 2 ν σˆ  2 ν σ | 5 1m u i 2 + 2 ν σ +  U 2 E 2 ν σˆ  2 ν σ 4 1m u i 2 , karena | 2 ν σ  2 ν σ |  | 2 ν σˆ  2 ν σ |. Berdasarkan Lemma A.6 dan pertidaksamaan Cauchy-Schwarz, elemen pertama pada bagian sisi kanan persamaan 3.65 adalah om -1 , juga E1m u i 2 2 adalah O1 karena u i adalah bersifat bebas dan menyebar N0, 2 ν σ +  i 2 . Serta E 2 ν σˆ  2 ν σ 4 u i 2 = om -1 karena Eu i 4 = O1, 3.63 3.64 3.65 57 sehingga R 2 adalah om -1 . R 1 juga sama dengan om -1 karena E[ 2 ν σˆ  2 ν σ h i 2 ν σ  y  2 ν σ ] 2 adalah om -1 menggunakan hasil 3.62 . Pada bagian ini ditunjukkan bahwa pendekatan penduga KTG, memiliki nilai harapan yang bersifat om -1 di bawah model Fay-Herriot, yaitu E[g 1i 2 ν σˆ ] = g 1i 2 ν σ  g 3i 2 ν σ + om -1 , E[g 2i 2 ν σˆ ] = g 2i 2 ν σ + om -1 , E[g 3i 2 ν σˆ ] = g 3i 2 ν σ + om -1 . Sebagaimana penjabaran sebelumnya, g 1i 2 ν σˆ = 2 ν σˆ  i 2 2 ν σˆ +  i 2 -1 . Melalui ekspansi deret Taylor bagi g 1i 2 ν σˆ di sekitar 2 ν σ , dapat diperoleh g 1i 2 ν σˆ = g 1i 2 ν σ + 2 ν σˆ  2 ν σ g  1i 2 ν σ + 2 1 2 ν σˆ  2 ν σ 2 g  1i 2 ν σ + 2 1 2 ν σˆ  2 ν σ 2 [g  1i 2 ν σ  g 1i 2 ν σ ], dimana  2 ν σ  2 ν σ    2 ν σˆ  2 ν σ . Selanjutnya, E 2 ν σˆ  2 ν σ = E 2 ν σˆ  2 ν σ~ dan E  2 ν σˆ  2 ν σ~  = om -1 , dengan menggunakan P 2 ν σ~  0  om -1 untuk beberapa nilai l Lemma A.6 diperoleh E 2 ν σˆ  2 ν σ g  1i 2 ν σ   g 1i 2 ν σ E  2 ν σˆ  2 ν σ  = om -1 , karena g  1i 2 ν σ =  i 4 2 ν σ +  i 2 -2  1. Sedangkan E 2 ν σˆ  2 ν σ 2 = E 2 ν σ~  2 ν σ 2 + om - 1 = var 2 ν σ~ + om -1 berdasarkan Lemma A.6. Oleh karena itu, maka E[ 2 1 2 ν σˆ  2 ν σ 2 g  1i 2 ν σ ] = 2 1 var 2 ν σ~ g  1i 2 ν σ + om -1 =  g 3i 2 ν σ + om -1 , dimana g  1i 2 ν σ = 2 i 4 2 ν σ +  i 2 -3 . Untuk elemen terakhir yang terdapat pada persamaan 3.67 , yaitu  g 1i 2 ν σ  g 1i 2 ν σ  = 2  i 4 2 ν σ +  i 2 -3 2 ν σ +  i 2 -3  2 ν σ +  i 2 3  2 ν σ +  i 2 3   2 L -8 [  2 ν σ  2 ν σ  3 + 3 2 ν σ +  U 2 2 ν σ  2 ν σ 2 + 3 2 ν σ +  U 2 2  2 ν σ  2 ν σ ]  2 L -8 [  2 ν σˆ  2 ν σ  3 + 3 2 ν σ +  U 2 2 ν σˆ  2 ν σ 2 3.66 3.67 3.68 58 + 3 2 ν σ +  U 2 2  2 ν σˆ  2 ν σ ]. Sehingga, E 2 ν σˆ  2 ν σ 2  g 1i 2 ν σ  g 1i 2 ν σ   2 L -8 [E  2 ν σˆ  2 ν σ  5 + 3 2 ν σ +  U 2 E 2 ν σˆ  2 ν σ 4 + 3 2 ν σ +  U 2 2 E  2 ν σˆ  2 ν σ  3 ] = om -1 , dimana E 2 ν σˆ  2 ν σ 2s = Om -s , E  2 ν σˆ  2 ν σ  3  [E 2 ν σˆ  2 ν σ 2 E 2 ν σˆ  2 ν σ 4 ] 12 = om -1 dan E  2 ν σˆ  2 ν σ  5  [E 2 ν σˆ  2 ν σ 4 E 2 ν σˆ  2 ν σ 6 ] 12 = om -1 . Berdasarkan penjabaran ini, maka persamaan 3.66 terbukti. Persamaan 3.66 yang terkait dengan elemen g 2i 2 ν σˆ dapat dibuktikan sebagai berikut: g 2i 2 ν σˆ  g 2i 2 ν σ =  i 4 2 ν σˆ +  i 2 -2 [x i T X T 1 ˆ  V X -1 x i  x i T X T V -1 X -1 x i ] +  i 4 x i T X T V -1 X -1 x i [ 2 ν σˆ +  i 2 -2  2 ν σ +  i 2 -2 ]. Melalui ekspansi deret Taylor di sekitar 2 ν σ pada persamaan 3.71 dapat diperoleh I 1 = x i T X T 1 ˆ  V X -1 x i  x i T X T V -1 X -1 x i = 2 ν σˆ  2 ν σ [ x i T X T V -1 X -1 x i  2 ν σ ] =  2 ν σˆ  2 ν σ x i T X T V -1 X -1 X T V -2 X X T V -1 X -1 x i dimana V adalah nilai V pada saat 2 ν σ = 2 ν σ . Berdasarkan hasil matriks sebelumnya, dapat diketahui bahwa I 1    L -2  2 ν σˆ  2 ν σ  x i T X T V -1 X -1 x i  atau E I 1    L -2 max q i E[  2 ν σˆ  2 ν σ  2 ν σ +  U 2 ]  1m L -2 m max q i [E 2 ν σˆ  2 ν σ 2 E 2 ν σ +  U 2 2 ] 12 = om -1 , dimana m max q i = O1, E 2 ν σˆ  2 ν σ 2 = om -1 , dan E 2 ν σ +  U 2 2  2[E 2 ν σˆ  2 ν σ 2 + 2 ν σ +  U 2 2 ] = O1. Demikian juga E  2 ν σˆ +  i 2 -2  2 ν σ +  i 2 2    L -8 [E 2 ν σˆ  2 ν σ 2 + 2 2 ν σ +  U 2 E  2 ν σˆ  2 ν σ ] = Om -12 , 3.69 3.70 3.71 3.72 59 dengan [E  2 ν σˆ  2 ν σ ] 2  E 2 ν σˆ  2 ν σ 2 , dan x i T X T V -1 X -1 x i  1m 2 ν σ +  U 2 m max q i = om -1 . Selanjutnya, sesuai dengan persamaan 3.71 bahwa E g 2i 2 ν σˆ  g 2i 2 ν σ  = om -1 , sehingga persamaan 3.66 terbukti. Terakhir, persamaan 3.66 yang terkait dengan elemen g 3i 2 ν σˆ dapat dibuktikan sebagai berikut: g 3i 2 ν σˆ  g 3i 2 ν σ = 2m  i 4 2 ν σ +  i 2 -3 [ 2 ν σˆ  2 ν σ 2 + 2 2 ν σ + 2 δ i 2 ν σˆ  2 ν σ ] + 2m  i 4 4 ν σ + 2 2 ν σ 2 δ i +  i 4 m[ 2 ν σ +  i 2 -3  2 ν σˆ +  i 2 -3 ] = I 2 + I 3 , dimana 2 δ i =  i 2 m. Karena itu, I 2   2m L -2 [E 2 ν σˆ  2 ν σ 2 + 2 2 ν σ +  U 2 E  2 ν σˆ  2 ν σ ] = om -1 , dan I 3   2m L -8 4 ν σ + 2 2 ν σ  U 2 +  U 4 [E  2 ν σˆ  2 ν σ  3 + 3 2 ν σ +  U 2 E 2 ν σˆ  2 ν σ 2 + 3 2 ν σ +  U 2 E  2 ν σˆ  2 ν σ ] = om -1 , serta E  2 ν σˆ  2 ν σ  = om -12 . Sesuai dengan persamaan 3.73 bahwa E g 3i 2 ν σˆ  g 3i 2 ν σ  = om -1 , maka persamaan 3.66 terbukti.

3.7. Penerapan pada Data Susenas dan Simulasi