40
3.2. MCLT dengan Pengaruh Acak Area dan Waktu
Terkadang beberapa survei diulang pelaksanaannya secara berkala, misalnya Susenas. Untuk survei seperti ini pendugaan tidak langsung di suatu area kecil
dapat ditingkatkan efisiensi pendugaannya dengan memasukkan pengaruh acak area dan waktu. Rao dan Yu 1994 dan Rao 2003 mengembangkan SAE dengan
menggunakan data penampang melintang cross sectional data dan data deret waktu time series data. Model tersebut terdiri dari model galat penarikan contoh
it
ˆ
it
+ e
it
, t = 1, …, T; i = 1, …, m dan model penghubung linking model
it
= x
it T
+ v
i
+ u
it
. Pada model di atas,
it
ˆ adalah penduga langsung dari survei untuk area kecil i pada waktu t,
it
adalah fungsi untuk rataan pada area i pada waktu t, dan e
it
adalah galat penarikan contoh yang menyebar normal dengan nilai harapan 0 dan mempunyai matriks koragam blok-diagonal
. Sedangkan x
it
adalah vektor spesikasi area yang mungkin berubah menurut waktu t.
Sebagaimana diasumsikan sebelumnya bahwa v
i
iid 0,
v 2
dan u
it
diasumsikan mengikuti proses random walk untuk setiap i, yaitu: u
it
= u
i,t-1
+
it
, dan
it
iid N0,
2
. Berdasarkan model di atas
it
tergantung pada pengaruh area spesifik v
i
dan area oleh waktu spesifik u
it
yang berkorelasi antar waktu. Model yang salahsatu komponen acaknya berkorelasi menurut waktu seperti
yang dipaparkan di atas,
it
ˆ = x
it T
+ v
i
+ u
it
dan u
it
= u
i,t-1
+
it
, dapat juga
dinyatakan dalam model MCLT, y
i
= X
i
+ Z
i
v
i T
+ e
i
, yaitu:
y
i
=
i
ˆ , X
i
= x
it1
, …, x
itT T
, Z
i
= 1
T
, I
T
dan
v
i T
= v
i
, u
i T
,
e
i
= e
i1
, …, e
iT T
, =
1
, …,
p T
dimana 1
T
adalah T x 1 vektor 1 dan I
T
adalah matriks identitas berordo T. Sedangkan
G
i
=
2 2
T v
, R
i
=
i
3.10
3.11
3.12
3.13
41 dimana
i
=
adalah T x T matriks koragam u
i
= u
i1
, …, u
iT T
dengan elemen ke-t,s adalah
|t-s|
1 -
2
.
3.3. Model State-Space dalam Pendugaan Area Kecil
Model state space atau disebut juga model linear dinamik dynamic linear model merupakan pendekatan umum untuk model deret waktu dengan peubah
tunggal ataupun peubah ganda Wei, 1994; Casella et al, 2000. State dari suatu sistem didefinisikan sebagai gugus minimum dari informasi saat ini dan waktu
sebelumnya sehingga perilaku sistem pada waktu yang akan datang dapat dideskripsikan secara lengkap melalui informasi tersebut.
Representasi state space didasarkan pada proses stokastik Markov, yaitu apabila state saat ini diketahui maka perilaku sistem pada waktu yang akan datang
bersifat bebas dengan perilaku sistem pada waktu sebelumnya. Karena itu, representasi state space dari suatu sistem sering juga disebut sebagai representasi
Markov Durbin, 2004; Zivot, 2006. Misalkan Y
1t
dan Y
2t
merupakan keluaran output dari suatu sistem yang masing-masing mempunyai masukan input X
1t
dan X
2t
. Suatu sistem dikatakan linear jika dan hanya jika kombinasi linear masukan, aX
1t
+ bX
2t
, akan menghasilkan kombinasi linear yang sama pada keluaran, aY
1t
+ bY
2t
, untuk setiap konstanta a dan b. Suatu sistem dikatakan time-invariant apabila karakteristik sistem tidak
berubah dari waktu ke waktu, yaitu apabila masukan X
t
menghasilkan keluaran Y
t
maka masukan X
t-s
akan menghasilkan keluaran Y
t-s
. Karena itu, suatu sistem dikatakan linear time invariant jika mempunyai karakteristik kedua-duanya yaitu
linear dan time-invariant. Model state space umumnya didasarkan pada model linear time-invariant ini.
Terkait dengan SAE, terkadang beberapa survei diulang pelaksanaannya secara berkala, misalnya Susenas. Untuk survei yang demikian ini pendugaan
tidak langsung, seperti pendugaan rata-rata pengeluaran perkapita di suatu area kecil, dapat ditingkatkan efisiensi pendugaanya dengan memasukkan pengaruh
acak area dan waktu. Model state space merupakan salah satu alternatif metode pemodelan dalam SAE dengan memperhatikan pengaruh pengamatan antar waktu
Pfeffermann, 2002. Perhatikan model pendugaan tidak langsung sebagai berikut:
42
it
ˆ
it
+ e
it
, t = 1, …, T; i = 1, …, m
it
= x
it T
it
dimana koefisien
it
=
it0
,
it1
, …,
itp T
mempunyai variasi menurut area dan waktu, galat penarikan contoh e
it
untuk setiap area i diasumsikan tidak berkorelasi dengan nilai tengah 0 dan ragam
it
. Variasi
it
antar waktu dapat dimodelkan sebagai berikut:
p j
v
itj ij
j t
i j
ij itj
,..., 1
, ,
1 β
β β
β
, 1
,
T .
Formulasi bagi
it
dapat mencakup beberapa model umum yang banyak
digunakan. Misalnya, apabila matriks T
j
adalah
1 1
j
T
maka formulasi bagi
it
berupa model regresi,
itj
=
ij
+ v
itj
. Apabila matriks T
j
dinyatakan sebagai
1 1
j
T
maka formulasi bagi
it
berupa model random walk,
itj
=
i,t-1,j
+ v
itj.
Sedangkan model regresi diri autoregressive ordo 1 atau AR1,
itj
-
ij
=
i,t-1,j
-
ij
+ v
itj
, dapat diformulasikan apabila
1
1
j
T .
Pemodelan di atas pada dasarnya merupakan kasus khusus dari model state space sebagai berikut:
y
t
= Z
t
t
+
t
; E
t
= 0, E
t
t T
= t
t
= H
t
t-1
+ A
t
; E
t
= 0, E
t
t T
=
dimana
t
dan
t
tidak berkorelasi antar waktu. Persamaan pertama disebut sebagai persamaan transisi Markov transition equation, sedangkan persamaan
kedua disebut persamaan pengukuran measurement equation. Model state space ini mempunyai bentuk dasar sebagaimana MCLT tetapi dengan melakukan
updating dugaan pada tiap waktu, penggunaan persamaan penyaring Kalman, dan pemulusan dugaan terakhir sebagai data baru.
3.14
3.15
3.16
43 Vektor
t
disebut sebagai vektor state. Misalkan
-1 t
α~ merupakan penduga
PTLT bagi
t-1
didasarkan pada semua pengamatan hingga waktu t-1, sehingga
-1 t
| t
α~
= H
-1 t
α~
merupakan penduga PTLT bagi
t
pada waktu t-1. Selanjutnya dapat dinyatakan pula persamaan
P
t|t-1
= HP
t-1
H
T
+ A A
T
yaitu matriks koragam bagi penduga galat
-1 t
| t
α~
-
t
, dimana P
t-1
= E
1 -
t
α~ -
t-1
E
1 -
t
α~ -
t-1 T
adalah matriks koragam bagi penduga galat pada waktu t-1. Pada waktu t, penduga bagi
t
dan matriks koragamnya diperbarui updated
menggunakan data baru y
t
, Z
t
, yaitu
y
t
- Z
t
-1 t
| t
α~
= Z
t
t
-
-1 t
| t
α~
+
t
yang mempunyai bentuk model linear campuran dengan y = y
t
- Z
t
-1 t
| t
α~
, Z = Z
t
, v =
t
-
-1 t
| t
α~
, G = P
t|t-1
dan V = F
t
, dimana
F
t
= Z
t
P
t|t-1
Z
t T
+
t
. Berdasarkan penjabaran di atas, pendugaan parameter pada model state
space dapat menggunakan pendekatan MCLT. Pada persamaan pengukuran, yaitu persamaan kedua pada model state space 3.16 di atas, di samping
menggunakan model regresi diri dapat pula mengunakan model rataan bergerak moving average maupun model campuran antara regresi diri dan rataan
bergerak. Hanya saja untuk model rataan bergerak diperlukan pembalikan proses terlebih dahulu yaitu dari rataan bergerak menjadi regresi diri, selanjutnya
diintegrasikan pada persamaan 3.16 tersebut, karena model dasar untuk persamaan pengukuran pada model state space adalah regresi diri. Dengan
demikian, penggunaan rataan bergerak pada model state space akan menjadi sangat kompleks terlebih lagi kalau diintegrasikan pada model SAE. Kajian pada
disertasi ini dibatasi pada model state space yang persamaan pengukurannya didasarkan pada model regresi diri.
3.17
3.18
3.19
44
3.4. Pendugaan Parameter Model dengan KMT