48
3.5. Pendekatan Orde Kedua untuk KTG
Misalkan h
, y dituliskan sebagai h dan h φˆ , y ditulis sebagai hφˆ ,
maka KTG bagi h
φˆ dapat dinyatakan sebagai berikut:
KTG[h
φˆ ] = KTG[h] + E[hφˆ h]
2
, Kackar dan Harville 1984 melalui pendekatan deret Taylor diperoleh persamaan
bahwa E[h
φˆ h]
2
= E[d
T
φˆ ]
2
dengan d
= h, selanjutnya dapat dinyatakan
E[d
T
φˆ ]
2
= tr[A
E
φˆ φˆ
T
],
dimana A adalah matriks koragam dari d.
tr[A φˆ Eφˆ φˆ
T
] = tr[
bVb
T
E
φˆ φˆ
T
], dimana
b
T
= col
T 1
j p
j
b dan b
T
= m
T
GZ
T
V
-1
. Kondisi umum terdapat pada bagian Teorema A.1, dimana pendekatan pada persamaan 3.33 dan 3.34
adalah om
-1
untuk m bernilai besar. Pengkombinasian persamaan 3.31 – 3.34 , akan diperoleh:
KTG[h
φˆ ] = KTG[h] + tr[b
T
V b
T T
E
φˆ φˆ
T
], Hasil 3.35 ini dapat digunakan untuk mengevaluasi tiga model area kecil
di atas. KTG[h
i
2
, y] untuk model regresi tersarang galat dapat dinyatakan
sebagai berikut: KTG[h
i
2
, y] = 1
i
2
+
i
X
i
i
x
T
X
T
V
-1
X
-1
i
X
i
i
x dimana X
T
V
-1
X
-1
adalah matriks ragam koragam bagi
β
~
,
2
e 2
1
i
=
i
n
i
, dan ]
σ γ
σ γ
[ σ
γ σ
γ
2 2
ν 2
2 ν
T 2
T T
T e
i i
e i
i n
i n
i
i i
n
1 V
1 b
V b
, dimana
] σ
σ [
2 2
ν 2
T i
e i
n i
n
n n
i i
1 V
1 , selanjutnya diperoleh
tr[
b
T
V b
T T
E
φˆ φˆ
T
] =
σ σˆ
σ σˆ
var σ
σ
2 2
ν 2
ν 2
3 2
2 ν
2 e
e i
e i
n n
. Melalui metode yang sama, untuk model koefisien regresi acak diperoleh
bahwa KTG[h
i
2
, y] =
2 i
X
1
i
γ
2
+
2 i
X
1
i
γ
2
i
γ
-1
2
3.31
3.32
3.33
3.34
3.35
3.36
3.37
3.38
49 dan
tr[
b
T
V b
T T
E
φˆ φˆ
T
] =
σ σˆ
σ σˆ
var σ
σ
2 2
ν 2
ν 2
3 2
2 2
ν 2
2 2
e e
ij j
e ij
j i
x x
X
. Pada model Fay-Herriot diperoleh
KTG[h
i
2
, y] =
2
i 2
2
+
i 2
-1
+
i 4
2
+
i 2
-2
x
i T
X
T
V
-1
X
-1
x
i
dan tr[
b
T
V b
T T
E
φˆ φˆ
T
] =
i 4
2
+
i 2
-3
var
2 υ
σˆ
. Nilai harapan dari penduga KTG tersebut bersifat Om
-1
berdasarkan model Fay-Herriot. Untuk model regresi galat tersarang, pendekatan KTG mungkin
dapat dinyatakan g
1i
2
+ g
2i
2
+ g
3i
2
, dimana g
1i
2
= 1
i
2
, g
2i
2
=
i
X
i
i
x
T
X
T
V
-1
X
-1
i
X
i
i
x ,
dan g
3i
2
=
] σˆ
, σˆ
cov σ
σ 2
σˆ var
σ σˆ
var σ
[ σ
σ
2 ν
2 2
ν 2
2 4
ν 2
ν 4
3 2
2 ν
2 e
e e
e i
e i
n n
. Di bawah asumsi kenormalan {
i
} dan {e
ij
}, maka var
2
σˆ
e
= 2n m k +
-1
e 4
, var
2 ν
σˆ
= 2w
-2
[n m k +
-1
m n k
e 4
+ 2w
e 2
2
+ w
4
] dan
cov
2 ν
2
σˆ ,
σˆ
e
= m w
-1
var
2
σˆ
e
dimana w = n
tr[X
T
X
-1
m
i i
i i
n
1 T
2
x x
] dan w = trMZZ
T
2 dengan M = I
X
X
T
X
-1
X
T
. Penduga bagi g
2i
2
dan g
3i
2
dapat disederhanakan menjadi g
2i
2
ˆσ dan
g
3i
2
ˆσ yang bersifat O
p
m
-1
, karena
2
ˆσ merupakan penduga konsisten bagi
2
. Tetapi g
1i
2
ˆσ bukan penduga yang tepat bagi g
1i
2
karena terjadi bias pada ordo Om
-1
. Penduga yang tepat bagi g
1i
2
dapat diperoleh melalui penyesuaian bias g
1i
2
ˆσ pada Om
-1
dengan menggunakan metode ekspansi Taylor bagi g
1i
2
ˆσ
dan kemudian diperoleh nilai harapannya, yaitu Eg
1i
2
ˆσ g
1i
2
= g
3i
2
+ om
-1
3.39
3.40
3.41
50 sehingga g
1i
2
ˆσ + g
3i
2
ˆσ merupakan penduga yang tidak bias pada ordo O
p
m
-1
. Penduga bagi pendekatan KTG yang bersifat O
p
m
-1
dapat dinyatakan sebagai ktg[h
i
2
ˆσ , y] = g
1i
2
ˆσ + g
2i
2
ˆσ + 2g
3i
2
ˆσ .
Sesuai penjabaran di atas, untuk model koefisisen regresi acak, nilai ktg[h
i
2
ˆσ , y]-nya juga seperti persamaan 3.42 , dengan
g
1i
2
=
2 i
X
1
i
γ
2
, g
2i
2
=
2 i
X
1
i
γ
2
i
γ
-1
2
, dan g
3i
2
=
3 2
2 2
ν 2
2 2
σ σ
ij j
e ij
j i
x x
X
] σˆ
, σˆ
cov σ
σ 2
σˆ var
σ σˆ
var σ
[
2 ν
2 2
ν 2
2 4
ν 2
ν 4
e e
e e
. Selanjutnya, berdasarkan asumsi kenormalan {
i
} dan {e
ij
}, maka var
2
σˆ
e
= 2n m
-1
e 4
, var
2 ν
σˆ
= 2
w ~
-2
[n 1m 1 n m
e 4
+ 2
w ~
e 2
2
+
w ~
4
], dan cov
2 ν
2
σˆ ,
σˆ
e
= m 1
w ~
-1
var
2
σˆ
e
dimana
w ~
= x
ij 2
[
i
j
x
ij 2
2
] x
ij 2
-1
dan
w ~
= {trMZZ
T
}
2
dengan M = I
X
X
T
X
-1
X
T
. Pada model Fay-Herriot, penjabaran ktg[h
i
2
ˆσ , y] dapat dinyatakan sebagai
berikut: ktg[h
i
2 ν
σˆ
, y] = g
1i
2 ν
σˆ
+ g
2i
2 ν
σˆ
+ 2g
3i
2 ν
σˆ
dimana g
1i
2
=
2
i 2
2
+
i 2
-1
, g
2i
2
=
i 4
2
+
i 2
-2
x
i T
X
T
V
-1
X
-1
x
i
, dan g
3i
2
=
i 4
2
+
i 2
-3
var
2 ν
σˆ
. Selanjutnya, berdasarkan asumsi kenormalan {
i
} dan {e
ij
}, maka Var
2 ν
σˆ
= 2m
-1
[
4
+ 2
2
i 2
m +
i 2
m] . Morris 1994 mengajukan selang kepercayaan emprical Bayes untuk nilai
tengah
i
dengan mengasumsikan
i 2
=
2
pada kasus khusus
i
= +
i
. Intervalnya adalah
i
μˆ z
2
s
i
, dimana
i
μˆ adalah penduga emprical Bayes yang 3.42
3.43
3.44
3.45
3.46
51 secara esensial ekuivalen dengan h
i
2 ν
σˆ
, y , dan s
i 2
= g
1i
2 ν
σˆ
+ g
2i
2 ν
σˆ
+ 2
4
2 ν
σˆ
+
2 -2
m
-1
y
i
β
x ˆ
T i
2
yang bersifat om
-1
. Nilai s
i 2
dapat direduksi menjadi g
1i
2 ν
σˆ
+ g
2i
2 ν
σˆ
+ g
3i
2 ν
σˆ
jika y
i
β
x ˆ
T i
2
diganti dengan nilai rataannya yaitu y
i
β
x ˆ
T i
2
m
-1
. Penduga ini ekuivalen dengan penduga KTG yang diperoleh melalui pendekatan g
1i
2 ν
σˆ
yang tidak disesuaikan pada biasnya ke Om
-1
. Prasad dan Rao 1990 serta Datta dan Lahiri 1995 mengajukan h
i
2
ˆσ , y
z
2
ktg[h
i
2
ˆσ , y]
12
sebagai selang kepercayaan pada model koefisien regresi acak dan model regresi galat tersarang, serta h
i
2 ν
σˆ
, y
z
2
mse[h
i
2 ν
σˆ
, y] untuk
model Fay-Herriot.
3.6. Evaluasi terhadap Penduga KTG Pada model campuran umum 3.20 di atas, y =
Kategori