14 Pendugaan tidak langsung dapat menggunakan pendekatan model secara
umum. Misalkan diasumsikan bahwa
i
= g
i
Y
untuk beberapa spesifikasi g.
dihubungkan dengan data penyerta spesifik pada area i, x
i
= x
1i
, …, x
pi T
melalui suatu model linear
i
= x
i T
+ b
i
v
i
, i = 1, …, m
dimana b
i
adalah konstanta positif yang diketahui dan adalah vektor berukuran
px1. Sedangkan v
i
adalah pengaruh acak spesifikasi area yang diasumsikan bebas dan menyebar identik dengan
E
m
v
i
= 0 dan V
m
v
i
=
v 2
0, atau v
i
iid 0,
v 2
. Pendugaan tidak langsung untuk rataan populasi di area kecil i,
i
Y
, diperlukan informasi mengenai penduga langsungnya yaitu Yˆ . Dengan menggunakan metode
James-Stein akan diperoleh:
i
ˆ gYˆ =
i
+ e
i
i
ˆ
x
i T
+ b
i
v
i
+ e
i
, i = 1, …, m dimana galat penarikan contoh sampling error e
i
adalah bebas dengan E
p
e
i
|
i
= 0 dan V
p
e
i
|
i
=
i
, atau v
i
iid 0,
v 2
.
2.2.2. Pendekatan Model Campuran Linear Terampat
Rao2003 mengaitkan model-model pendugaan tidak langsung model- based di atas sebagai bagian dari model campuran linear terampat MCLT
generalized linear mixed model GLMM yang menggabungkan antara pengaruh tetap dan pengaruh acak dalam suatu model umum. Datta dan Ghosh 1991
mengemukakan formulasi model MCLT sebagai berikut :
y
P
= X
P
+ Z
P
v + e
P
.
Pada model ini v dan e
P
bebas dengan e
P
N0,
2
P
dan v N0,
2
D
, dimana
P
adalah matriks definit positif yang diketahui dan D
adalah
matriks definit positif yang strukturnya diketahui. Sedangkan X
P
dan Z
P
adalah
matriks rancangan dan Y
P
adalah vektor N x 1 dari nilai y populasi. Matriks
koragam bagi v dan e masing-masing adalah G dan R. Persamaan di atas dapat
pula ditulis sebagai berikut: 2.5
2.6
15
e e
v Z
Z X
X y
y y
P
dimana bagian yang ditandai asterisk menunjukkan unit yang tidak tercakup dalam contoh. Vektor untuk total Y
i
pada area kecil adalah berbentuk Ay + Cy dengan A =
T n
m i
i
1
1
dan C =
T n
N m
i
i i
1
1
dimana
u m
i
A
1
= blockdiagA
1
, …, A
m
. Pada MCLT ini dilakukan pendugaan terhadap kombinasi linear dari
parameter yaitu
= 1
T
+ m
T
v
. Rao 2003 mengemukakan bahwa untuk
tertentu yang diketahui maka penduga PTLT bagi adalah
H
~ = t, y = 1
T
~
+ m
T
v
~
= 1
T
~
+ m
T
GZ
T
V
-1
y - X
~
dimana
~
=
~
= X
T
V
-1
X
-1
X
T
V
-1
y
v
~
=
v
~
= GZ
T
V
-1
y - X
~
. Model untuk pendugaan tidak langsung, yaitu
i
ˆ
x
i T
+ b
i
v
i
+ e
i
, i = 1,
…, m, sebenarnya merupakan kasus khusus dari model MCLT, yaitu
y
i
=
i
ˆ , X
i
= x
i T
, Z
i
= b
i
dan
v
i
= v
i
, e
i
= e
i
, =
1
, …,
p T
sedangkan
G
i
=
v 2
, R
i
=
i
sehingga
V
i
=
i
+
v 2
b
i 2
dan
i
=
i
= x
i T
+ b
i
v
i
. Apabila persamaan pendugaan tidak langsung disubstitusikan ke dalam
pendugaan MCLT akan diperoleh penduga PTLT bagi
i
atau
i
yaitu:
H i
~
= x
i T
~
+
i
i
ˆ - x
i T
~
, dimana
i
=
v 2
b
i 2
i
+
v 2
b
i 2
, dan
~
=
~
v 2
=
m
i i
v i
i i
m i
i v
i T
i i
b b
1 2
2 1
1 2
2
ˆ
x x
x
. Ada tiga pendekatan standar untuk SAE didasarkan pada model MCLT
tersebut, yaitu PTLTE, Bayes empirik, dan Bayes berhirarki. Metode PTLTE biasanya membutuhkan metode kemungkinan maksimum terkendala KMT
2.7
2.8
2.9
16 restricted maximum likelihood REML untuk pendugaan parameternya yang
berkaitan dengan pengaruh area acak, yang identik dengan Bayes empirik dan Bayes berhirarki dalam beberapa keadaan.
2.2.3. Pengaruh Penarikan Contoh pada Pendugaan Tidak Langsung
