16 restricted maximum likelihood REML untuk pendugaan parameternya yang
berkaitan dengan pengaruh area acak, yang identik dengan Bayes empirik dan Bayes berhirarki dalam beberapa keadaan.
2.2.3. Pengaruh Penarikan Contoh pada Pendugaan Tidak Langsung
Sebagaimana dijabarkan di atas bahwa pada pendugaan tidak langsung, metode penarikan contoh akan mempengaruhi metode penghitungan nilai kuadrat
tengah galatnya.
Artinya, pada
pendugaan tidak
langsung juga
mempertimbangkan metode pendugaan langsungnya bagi penduga parameternya maupun keragaman yang terdapat dalam penduga langsung tersebut. Pada model
di atas yaitu,
i
ˆ gYˆ =
i
+ e
i
i
ˆ
x
i T
+ b
i
v
i
+ e
i
, i = 1, …, m pengaruh penarikan contoh diperhitungkan pada komponen e
i
sebagai galat penarikan contoh sampling error yang bebas dengan
E
p
e
i
|
i
= 0 dan V
p
e
i
|
i
=
i
, atau v
i
iid 0,
v 2
. Pada persamaan 2.10 di atas, penduga langsung yang berbasis pada
metode penarikan contoh tertentu berkontribusi pada nilai
i
ˆ dan V
p
e
i
|
i
=
i
. Untuk penarikan contoh acak sederhana simple random sampling yang memilih
n unit dari N sehingga setiap elemen dari
N
C
n
contoh yang berbeda mempunyai kesempatan yang sama untuk dipilih maka
ˆ = y pada suatu area kecil tertentu dimana
E y = ...
1 1
2 1
N
y y
y nN
n N
n n
N n
N
=
Y N
y y
y
N
...
2 1
. Sehingga y merupakan penduga tidak bias bagi nilai tengah populasi Y .
Sedangkan = ragam bagi y untuk area kecil tertentu yang dapat dinyatakan
sebagai E y Y
2
, yaitu = V y = E y Y
2
=
2
1 n
N n
[
1
1 1
N n
{y
1
Y
2
+ …. + y
N
Y
2
} 2.10
2.11
17 =
N i
i
Y y
N nN
n N
1 2
1
=
n N
n N
N n
Y y
N n
N
N i
i 2
1 2
y
σ 1
dimana
1 σ
1 2
2
N Y
y
N i
i y
, sedangkan penduga bagi ragam y adalah ˆ
2
n s
N n
N y
V
y
pada penduga ragam bagi y tersebut,
1
1 2
2
n y
y s
n i
i y
merupakan penduga tidak bias bagi ragam populasi
2
σ
y
. Untuk penarikan contoh dengan pengembalian,
ragam bagi y yaitu = V y =
2
1 n
N i
N j
i j
i i
N n
y y
N N
n y
1 2
2 2
2 1
=
1 1
1
1 2
1 2
N Y
y nN
N Y
y nN
N i
i N
i i
= n
N N
y 2
σ 1
.
Pada penarikan acak contoh berlapis, populasi N unitnya dibagi ke dalam subpopulasi, masing-masing N
1
, N
2
, ..., N
L
unit, dimana N
N
L i
1
, sehingga subpopulasi ini tidak boleh tumpang tindih. Penduga langsung bagi
yaitu ˆ
pada persamaan pendugaan area kecil 2.10 adalah ˆ =
st
y , yaitu
L h
h h
L h
h h
st
y W
N y
N y
1 1
dimana W
h
= N
h
N merupakan pembobot lapisan. Apabila dalam setiap lapisan penduga contohnya,
h
y , adalah tidak bias, maka
st
y merupakan penduga tidak
bias bagi nilai tengah populasi Y , yaitu 2.13
2.14 2.12
18 E
st
y =
L h
h h
L h
h h
Y W
y W
E
1 1
karena penduganya,
h
y , adalah tidak bias pada tiap lapisan. Sementara itu, nilai tengah populasi dapat dinyatakan sebagai berikut:
L h
h h
L h
h h
L h
N i
hi
Y W
N Y
N N
y Y
h
1 1
1 1
berdasarkan penjabaran di atas, maka
st
y merupakan penduga tidak bias bagi nilai
tengah populasi Y , karena E
st
y = Y . Ragam penarikan contoh
yang berkontribusi pada pendugaan area kecil di atas dapat dinyatakan sebagai ragam bagi
st
y yaitu
= V
st
y = ,
2
1 1
2 1
j h
L h
L h
j j
h L
h h
h L
h h
h
y y
Cov W
W y
V W
y W
V
Apabila penarikan contohnya dilakukan secara bebas antar lapisan yang berbeda seluruh koragam di atas sama dengan nol, sehigga
= V
st
y =
L h
h h
L h
h h
y V
W y
W V
1 2
1
=
L h
h h
h h
h h
N n
N n
W
1 2
2
σ
dimana
1 σ
1 2
2
h
N i
h hi
h
N Y
y
h
. Pada penarikan contoh sistematik yang mengambil sebuah unit secara acak
dari k unit yang pertama, dan selanjutnya mengambil setiap kelipatan k, Penduga langsung bagi
yaitu ˆ pada persamaan pendugaan area kecil 2.10 adalah ˆ =
sy
y
. Pendekatan pada contoh sistematik adalah berupa penarikan contoh berkelompok dimana kelompoknya mengandung n elemen dan contohnya terdiri
dari satu kelompok, sehingga dapat dianggap bahwa N = nk. Berdasarkan hal ini, ˆ =
sy
y
merupakan penduga tidak bias bagi nilai tengah populasi Y untuk sebuah contoh sistematik yang ditempatkan secara acak.
2.15
2.16
19 Misalkan y
ij
menyatakan anggota ke-j dari contoh sistematik ke-i, sehingga j = 1, 2, . . ., n ; i = 1, 2, . . ., k, dan rata-rata contoh ke-i dinotasikan dengan
. i
y maka adalah ragam dari
sy
y
yaitu:
2 1
1 2
. 1
2 .
1 1
2 2
1 1
wsy sy
k i
n j
i ij
k i
i k
i n
j ij
S n
k y
nkV y
y Y
y n
Y y
S N
sehingga =
2 2
1 1
wsy sy
S N
n k
S N
N y
V
dimana
k i
n j
ij
Y y
N S
1 1
2 2
1 1
dan
k i
n j
i ij
wsy
y y
n k
S
1 1
2 .
2
1 1
.
2 wsy
S merupakan ragam antara unit-unit yang terletak di dalam contoh
sistematik yang sama. Pembagi dari ragam ini, kn - 1 dibentuk dengan aturan yang umum dalam analisis ragam yaitu masing-masing dari k contoh memberikan
n - 1 derajat bebas pada jumlah kuadrat dalam pembilangnya. Bentuk lain untuk
pada penarikan contoh acak berlapis ini dapat dijabarkan sebagai berikut:
= ]
1 1
[ 1
2 w
sy
ρ n
n S
N N
y V
.
Pada persamaan di atas,
w
adalah koefisien korelasi antara pasangan dari unit-unit yang berada dalam contoh sistematik yang sama, yaitu
2
Y y
E Y
y Y
y E
ρ
ij iu
ij w
. Dimana pembilangnya adalah rata-rata seluruh knn – 12 pasangan yang
berlainan, dan penyebutnya keseluruhan nilai N dari y
ij
. Karena penyebutnya adalah N – 1S
2
N, maka
k i
n u
j iu
ij w
Y y
Y y
S N
n ρ
1 2
1 1
2 .
Pada penarikan contoh acak bergerombol, penduga langsung bagi yaitu
ˆ pada persamaan pendugaan area kecil 2.10 dapat dijelaskan sebagai berikut.
2.17
2.18
2.19
20 Misalnya y
ij
adalah nilai yang diamati untuk elemen ke-j dalam unit atau kelompok ke-i, dan y
i
=
M
j ij
y
1
adalah total pada kelompok ke-i, dimana i = 1, 2, ..., N dan j = 1, 2, ..., M. Apabila sebuah contoh acak sederhana kelompok
berukuran n diambil dari N kelompok pada populasi dan pada masing-masing kelompok berisi M elemen. Misalkan y
i
menyatakan total pada kelompok ke-i dan ˆ = y =
n
i i
n y
1
, serta adalah ragam y , yaitu
= V y = 1
1 2
N Y
y nN
n N
n i
i
. Karena y = M y dan Y = M Y , maka y merupakan penduga tidak bias
bagi Y dengan ragam sebagai berikut:
V y = 1
1 2
2
N Y
y nNM
n N
n i
i
Misalkan bahwa setiap unit dalam populasi dapat dibagi ke dalam sejumlah unit-unit atau sub-unit yang lebih kecil. Sebuah contoh dari n unit dipilih. Jika
sub-unit dalam unit yang dipilih memberikan hasil yang sama, hal ini menjadi tidak efisien untuk mengukur sebuah contoh dari sub-unit dalam setiap unit yang
dipilih. Pada kondisi demikian dapat diterapkan sub-penarikan contoh atau penarikan contoh dua tahap, karena contohnya diambil dalam dua tahap. Tahap
pertama memilih sebuah contoh dari unit-unit utama dan tahap kedua memilih sebuah contoh dari unit-unit tahap pertama atau sub-unit dari setiap unit utama
yang terpilih. Pada penarikan contoh dua tahap, penarikan contoh tahap pertama
merupakan sebuah metode pemilihan n unit. Kemudian untuk setiap unit terpilih, digunakan metode untuk memilih sejumlah tertentu subunit-subunit. Dalam
mencari rata-rata dan penduga ragam, rata-ratanya harus meliputi seluruh contoh yang dapat diturunkan dengan proses dua tahap ini. Salahsatu cara penghitungan
rata-ratanya adalah dengan menghitung rata-rata seluruh contoh tahap kedua yang dapat diambil dari sekumpulan n unit. Kemudian dirata-ratakan seluruh pemilihan
21 yang mungkin dari n unit tersebut. Untuk sebuah penduga,
ˆ, metode ini dapat dinyatakan sebagai
E ˆ = E
1
[E
2
ˆ]. Dimana E merupakan nilai harapan seluruh contoh, E
2
meruapakan nilai harapan seluruh pemilihan yang mungkin pada tahap kedua dari sekumpulan n
unit tetap, dan E
1
merupakan nilai harapan seluruh pemilihan yang mungkin pada tahap pertama. Sedangkan ragam bagi
ˆ dapat dinyatakan sebagai berikut: V
ˆ = Eˆ
2
= E
1
[E
2
ˆ
2
] dimana
E
2
ˆ
2
= E
2
ˆ
2
2 E
2
ˆ +
2
= [E
2
ˆ]
2
+ V
2
ˆ 2E
2
ˆ +
2
karena E
1
[E
2
ˆ] = , maka V
ˆ = E
1
[E
2
ˆ]
2
+ E
1
[V
2
ˆ]
2
= V
1
[E
2
ˆ] + E
1
[V
2
ˆ] . Hal serupa dapat dilanjutkan untuk penarikan contoh tiga tahap atau lebih.
Misalnya, untuk penarikan contoh tiga tahap, ragam bagi ˆ dapat dinyatakan
sebagai berikut: V
ˆ = V
1
{E
2
[E
3
ˆ]} + E
1
{V
2
[E
3
ˆ]} + E
1
{E
2
[V
3
ˆ]}. Misalkan y
ij
merupakan nilai yang diperoleh untuk subunit ke-j j = 1, 2, ..., m pada unit utama ke-i i = 1, 2, ..., n. Apabila n unit dan m subunit dari masing-
masing unit yang telah diambil dipilih dengan penarikan contoh acak sederhana, maka
nm y
y
n i
m j
ij
1 1
merupakan penduga tidak bias bagi Y dengan ragam mn
S M
m M
n S
N n
N y
V
2 2
2 1
1 dan
1
1 2
1 2
2 1
2 2
1
M N
Y y
S N
Y Y
S
N i
i M
j ij
N i
i
2.20
2.21
22 dimana S
1 2
merupakan ragam diantara rata-rata unit utama dan S
2 2
merupakan ragam diantara subunit-subunit dalam unit utama. Hal ini dapat ditunjukkan
sebagai berikut: E y = E
1
[E
2
y ] = E
1
Y Y
N Y
n
N i
i n
i i
1 1
1 1
V y = V
1
[E
2
y ] + E
1
[V
2
y ] karena E
2
y =
i
Y
n, maka
n S
N n
N y
E V
2 1
2 1
] [
.
Selanjutnya, dengan y =
i
y n dan penarikan contoh acak sederhana digunakan pada tahap kedua,
m S
Mn m
M y
V
n i
i
1 2
2 2
2
dimana
1
2 1
2 2
M Y
y S
i M
j ij
i
merupakan ragam diantara subunit utama ke-i. Apabila dirata-ratakan seluruh contoh tahap pertama,
2 2
1 2
2
S N
S
N i
i
. Oleh karena itu,
mn S
M m
M y
V E
2 2
2 1
] [
sehingga ragam bagi y adalah
mn S
M m
M n
S N
n N
y V
2 2
2 1
.
2.22
2.23
2.24
23
2.3. Metode SAE dan Model State Space