Kofaktor Adjoint Menentukan Invers Matriks Selain Berordo 2×2
Modul Matematika SMA
43
Adapun langkah-langkah yang harus di lakukan untuk mencari determinan matriks berordo 3 × 3 dengan metode Sarrus adalah sebagai berikut:
1 Salin kembali kolom pertama dan kolom kedua matriks A di
sebelah kanan tanda determinan. 2
Hitunglah jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama dan diagonal lain yang sejajar dengan diagonal utama lihat
gambar. Nyatakan jumlah hasil kali tersebut dengan Du
32 31
22 21
12 11
33 32
31 23
22 21
13 12
11
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a
Du =
32 21
13 31
23 12
33 22
11
a a
a a
a a
a a
a
3 Hitunglah jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal sekunder
dan diagonal lain yang sejajar dengan diagonal sekunder lihat gambar. Nyatakan jumlah hasil harga tersebut dengan Ds.
32 31
22 21
12 11
33 32
31 23
22 21
13 12
11
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a
Ds =
12 21
33 11
23 32
13 22
31
a a
a a
a a
a a
a
4 Sesuai dengan definisi determinan matriks maka determinan dari
matriks A adalah selisih antara Du dan Ds yaitu Du – Ds.
det A =
32 31
22 21
12 11
33 32
31 23
22 21
13 12
11
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a
= ∙
∙ +
∙ ∙
+ ∙
∙ −
∙ ∙
+ ∙
∙ +
∙ ∙
Keempat langkah di atas dapat juga dinyatakan sebagai berikut.
44
|�| = +
+ −
− −
Adjoint � diperoleh dengan mentranspose matriks kofaktor � .
Setelah didapat nilai determinan dari matriks � dan adjoint �, maka invers
matriks �dapat ditentukan.
�
−
= Adj �
|�| Contoh :
Diketahui matriks � = [
− −
] Tentukan nilai determinan matriks A dengan menggunakan dua cara di
atas dengan metode kofaktor dan Kaidah Sarrus, kemudian tentukan invers dari matriks
� dengan menggunakan adjoint Jawab :
Menentukan determinan matriks
� dengan menggunakan kofaktor. Pilih salah satu dari tiga rumus di atas. Sebagai contoh di pilih rumus no 1,
yaitu: |�| =
∙ � + ∙ � +
∙ � =
∙ −
+
∙ | | +
∙ −
+
∙ | | +
∙ −
+
∙ | |
= |
| − |
| + |
| =
| | −
| | +
| |
Dengan mensubstitusikan elemen-elemen matriks � yang
bersesuaian dengan rumus tersebut didapat: |�| = − |
− | − | − | + |
|
Modul Matematika SMA
45
= { − [ ∙ − − ∙ ]} − { ∙ [ ∙ − − ∙ ]} + { ∙ [ ∙ − ∙ ]}
= { − [ − − ]} − { ∙ [ − − ]} + { ∙ [ − ]} = { − [− ]} − { ∙ [− ]} + { ∙ [− ]}
= { } − {− } + {− } =
Menentukan
determinan matriks
� dengan menggunakan menggunakan Kaidah Sarrus.
|�| = − ∙ ∙ − + ∙ ∙ + ∙ ∙ − ∙ ∙ − ∙ ∙ − − − ∙ ∙
|�| = + + − − +
|�| = Dengan menggunakan dua cara yang berbeda untuk menghitung
determinan matriks � di atas ternyata didapatkan nilai determinan � =
|�| = . Selanjutnya akan dilakukan menentukan adjoint dari
� = [ −
− ].
� � = [ �
� �
� �
� �
� �
], dengan
� = −
+
| | = |
| = | − | = − − = −
� = −
+
| | = −|
| = − | − | = −[ − − ] =
� = −
+
| | = |
| = | | = − = −