Modul Matematika SMA
61
Vektor-vektor di ℝ juga dapat dinyatakan dalam bentuk kombinasi linear dari
vektor basis
i
,
j
dan
k
. Misal: titik
1, 2, 3
P
. Maka vektor
OP
=
2 3
i
j k
.
6. Operasi Aljabar Vektor di Ruang Dimensi Dua dan Ruang Dimensi
Tiga
Misalkan
s s
x s
y
dan
t t
x t
y
vektor di ℝ , dan
u u
u
x u
y z
,
v v
v
x v
y z
vektor di ℝ ,
dan m bilangan real. Maka berlaku operasi aljabar sebagai berikut.
a.
Kesamaan vektor Dua buah vektor dikatakan sama apabila setiap komponen yang bersesuaian
bernilai sama. Dari sini maka: Pada R2, berlaku
s
=
t
jika dan hanya jika
s t
x x
dan
s t
y y
. Pada R3, berlaku
u
=
v
jika dan hanya jika
u v
x x
,
u v
y y
dan
u v
z z
b.
Penjumlahan vektor Penjumlahan atau resultan vektor dapat dilakukan dengan menjumlahkan
komponen-komponennya. Pada R2, jika
r s
t
, maka
s t
s t
s t
s t
x x
x x
r y
y y
y
Pada R3, jika
w u
v
, maka
u v
u v
u v
u v
u v
u v
x x
x x
w y
y y
y z
z z
z
Unsur identitas dalam operasi penjumlahan vektor adalah vektor nol
di
ℝ , dan vektor nol
di ℝ . Sehingga untuk sebarang vektor
a
berlaku
a a
a
.
62
Lawan dari vektor
s s
x s
y
di ℝ adalah vektor
s s
x s
y
Lawan dari vektor
u u
u
x u
y z
di ℝ adalah vektor
u u
u
x u
y z
c.
Pengurangan vektor Seperti halnya penjumlahan vektor, pengurangan vektor dapat dilakukan dengan
mengurangkan komponen-komponen yang bersesuaian. Pada
ℝ , jika
r s
t
, maka
s t
s t
s t
s t
x x
x x
r y
y y
y
Pada ℝ , jika
w u
v
, maka
u v
u v
u v
u v
u v
u v
x x
x x
w y
y y
y z
z z
z
d.
Perkalian vektor dengan bilangan skalar Pada
ℝ , hasil kali skalar m dengan
s s
x s
y
adalah
s s
m x ms
m y
.
Pada ℝ , hasil kali skalar m dengan
u u
u
x u
y z
adalah
u u
u
m x mu
m y m z
.
Perkalian skalar dengan vektor memenuhi sifat-sifat berikut. Diketahui m dan n bilangan riil,
u
dan
v
suatu vektor maka berlaku:
m u
m u mu
m nu mn u
m n u mu
nu
m u v
mu mv
