Modul Matematika SMA
41
Dengan menggunakan hasil penghitungan kofaktor-kofaktor pada contoh soal di atas, Adjoint matriks
� tersebut adalah: adj � = [
� �
� �
� �
� �
� ] = [
− −
− −
− ]
6. Determinan matriks berordo 3×3
Misalkan matriks � diberikan sebagai
� = [ ]
Nilai determinan dari matriks � biasa ditulis det �, atau |�| ditentukan dengan rumus:
a. Cara 1 menggunakan metode kofaktor
Determinan suatu matriks merupakan jumlah perkalian elemen-elemen dari sebuah baris kolom dengan kofaktor-kofaktor yang bersesuaian.
Dapat dirumuskan: det � =
n
j ij
ij
A a
1
dengan sebarang, diekspansikan menurut baris ke- .
det � =
n i
ij ij
A a
1
dengan sebarang, diekspansikan menurut kolom ke- .
Dengan melakukan ekspansi menurut baris ke- , didapat rumus: 1
|�| = ∙ � +
∙ � + ∙ �
= ∙ |
| +∙ −
+
∙ | | +
∙ −
+
∙ | |
= |
| − |
| + |
| =
| | −
| | +
| |
Untuk ekspansi baris ke-1 2
|�| = ∙ � +
∙ + ∙ �
= ∙ −
+
∙ | | +
∙ | | +
∙ −
+
∙ | |
= − |
| + |
| − |
|
42
= − |
| + |
| − |
| Untuk ekspansi baris ke-2
3 |�| =
∙ � + ∙ � +
∙ � =
∙ −
+
∙ | | +
∙ −
+
∙ | | +
∙ −
+
∙ | |
= |
| − |
| + |
| =
| | −
| | +
| |
Untuk ekspansi baris ke-3 Dengan melakukan ekspansi menurut kolom ke- , didapat rumus:
1 |�| =
∙ � + ∙ � +
∙ � =
∙ | | +
∙ −
+
∙ | | +
∙ −
+
∙ | |
= |
| − |
| + |
| =
| | −
| | +
| |
Untuk ekspansi kolom ke-1 2
|�| = ∙ � +
∙ � + ∙ �
= ∙ −
+
∙ | | +
∙ −
+
∙ | | +
∙ −
+
∙ | |
= − |
| + |
| − |
| = −
| | −
| | +
| |
Untuk ekspansi kolom ke-2 3
|�| = ∙ � +
∙ � + ∙ �
= ∙ −
+
∙ | | +
∙ −
+
∙ | | +
∙ −
+
∙ | |
= |
| − |
| + |
| =
| | −
| | +
| |
Untuk ekspansi kolom ke-3 Untuk mencari det
� dengan metode kofaktor cukup menggunakan satu ekspansi saja, misalnya ekspansi baris ke-1.
b. Cara 2 Kaidahmetode Sarrus
Untuk mencari determinan dari matriks persegi berordo 3 × 3, akan digunakan suatu metode yang dinamakan metode Sarrus.
Modul Matematika SMA
43
Adapun langkah-langkah yang harus di lakukan untuk mencari determinan matriks berordo 3 × 3 dengan metode Sarrus adalah sebagai berikut:
1 Salin kembali kolom pertama dan kolom kedua matriks A di
sebelah kanan tanda determinan. 2
Hitunglah jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama dan diagonal lain yang sejajar dengan diagonal utama lihat
gambar. Nyatakan jumlah hasil kali tersebut dengan Du
32 31
22 21
12 11
33 32
31 23
22 21
13 12
11
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a
Du =
32 21
13 31
23 12
33 22
11
a a
a a
a a
a a
a
3 Hitunglah jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal sekunder
dan diagonal lain yang sejajar dengan diagonal sekunder lihat gambar. Nyatakan jumlah hasil harga tersebut dengan Ds.
32 31
22 21
12 11
33 32
31 23
22 21
13 12
11
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a
Ds =
12 21
33 11
23 32
13 22
31
a a
a a
a a
a a
a
4 Sesuai dengan definisi determinan matriks maka determinan dari
matriks A adalah selisih antara Du dan Ds yaitu Du – Ds.
det A =
32 31
22 21
12 11
33 32
31 23
22 21
13 12
11
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a
= ∙
∙ +
∙ ∙
+ ∙
∙ −
∙ ∙
+ ∙
∙ +
∙ ∙
Keempat langkah di atas dapat juga dinyatakan sebagai berikut.
