Modul Matematika SMA
35
Tunjukkan bahwa matriks � dan saling invers
Jawab: Untuk menunjukkan bahwa Matriks
� dan saling invers, harus kita tunjukkan bahwa
� =
−
dan = �
−
dengan menunjukkan bahwa � ∙ = ∙ � = .
�. = [ −
− ] ∙ [
] = [ ∙ + − ∙ ∙ + − ∙
− ∙ + ∙ − ∙ + ∙ ] = [
] = . � = [
] ∙ [ −
− ] = [ ∙ + ∙ −
∙ − + ∙ ∙ + ∙ −
∙ − + ∙ ] = [ ] =
Jadi � ∙ = ∙ � = terbukti
3. Matriks Singular dan Matriks Non Singular
Suatu matriks dikatakan singular jika determinannya nol, dan dikatakan non-singular jika determinannya tidak nol.
Contoh: Diberikan matriks-matriks:
� = [− − ] , = [
− ] , dan
= [− − ]
Manakah dari matriks-matriks di atas yang merupakan matriks singular dan matriks non singular?
Jawab: |�| = |−
− | = − ∙ − − ∙ = − − − = | | = |
− | = ∙ − − ∙ = − − = −
| | = |− − | = − ∙ − − ∙ =
− = Oleh karena determinan matriks
� adalah nol dan determinan matriks dan tidak nol, maka matriks
� adalah matriks singular dan matriks dan adalah matriks non singular.
36
4. Invers Matriks Ordo 2 × 2.
Jika � = [
] dengan |�| = −
≠ , maka invers matriks � adalah �
−
=
|�|
[ −
− ].
Dengan kata lain untuk memperoleh invers dari matriks � yang berordo 2 × 2
ditempuh dengan cara: a.
Pertukaran elemen-elemen pada diagonal utamanya b.
Berikan tanda negatif pada elemen-elemen lainnya c.
Bagilah setiap elemen matriks dengan determinannya. Berdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan bahwa:
a. Suatu matriks persegi tidak memiliki invers jika dan hanya jika matriks itu
singular. b.
Suatu matriks persegi memiliki invers jika dan hanya jika matriks itu non singular.
Contoh: Tentukan invers matriks
� = [ −
− ]
Jawab: Dengan menggunakan rumus invers matriks di atas didapatkan:
�
−
= ∙ — ∙ − [ ] = [
] = [ ]
Jadi invers matriks � = �
−
= [ ]
5. Menentukan Invers Matriks Selain Berordo 2×2
Menentukan Invers matriks berordo 3×3, dengan menggunakan Adjoint matriks.
Jika � adalah matriks non singular berordo 3×3, maka invers � adalah
Modul Matematika SMA
37
�
−
=
�� � |�|
, Dengan:
|�| = determinan dari matriks � � � = adjoint dari matriks A
Untuk dapat menggunakan adjoint matriks, kita sebelumnya harus memahami tentang minor, dan kofaktor.
a. Minor
Apabila elemen-elemen pada baris ke- dan kolom ke- dari matriks �
berordo 3×3 dihapuskan maka didapat suatu matriks baru yang berordo 2×2. Matriks baru ini merupakan submatriks
�. Determinan dari submatriks
� ini disebut minor dan dinyatakan dengan | |
Misalkan matriks � berordo 3×3
� = [ ], determinan � = |�| = |
| Minor-minor dari matriks
� setelah dihilangkan elemen-elemen pada baris ke 1 sampai 3 dan kolom ke 1 sampai 3 adalah sebagai berikut:
| | = |
|, | | = |
|, | | = |
| |
| = | |, |
| = | |, |
| = | |
| | = |
|, | | = |
|, | | = |
| Berikut ini diberikan contoh cara mendapatkan minor-minor dari matriks
�.
