Metode Semi-Invers Saint-Venant Analisa Torsi pada Tampang Sembarang

42

2.10. Analisa Torsi pada Tampang Sembarang

2.10.1 Metode Semi-Invers Saint-Venant

Anggap suatu batang atau bahan mengalami torsi dengan suatu potongan melintang seragam dari tampang sembarang seperti terlihat pada gambar 2.26. tegangan yang didistribusukan pada ujung- ujung yaitu τ zx dan τ zy akan menghasilkan torsi sebesar T. Gambar 2.27. Elemen torsi dengan tampang sebarang Metode Saint-Venant dimulai dengan suatu perkiraan komponen perpindahan akibat torsi. Perkiraan ini didasarkan kepada perubahan gometri yang terjadi pada elemen torsi yang terdeformasi. Saint-Venant mengasumsikan tiap elemen torsi lurus dengan tampang tetap selalu memiliki suatu sumbu putar yang tegak lurus terhadap potongan melintangnya yang bertindak sebagai poros kaku pada pusatnya. Dalam hal ini, poros diambil sejajar sumbu z. Tinjau suatu titik P dengan koordinat x,y,x dari pusat O sebelum mengalami deformasi. Setelah mengalami deformasi akibat torsi, P bergerak ke P’. P akan 43 berpindah sejauh w sejajar sumbu z karena warping distorsi kearah luar bidang dari potongan melintang dan perpindahan sejauh u dan v sejajar sumbu x dan sumbu y karena rotasi dasar potongan melintang dimana P berasa dengan sudut puntir sebesar � ini bervariasi menurut jarak z dari poros. Dapat dituliskan bahwa d�dz sebagai suatu laju puntiran �. Maka pada jarak z dari pusat O, sudut puntir adalah sebesar � = ��. Gambar 2.28. Potongan melintang suatu elemen torsi Dengan mengacu pada gambar 2.28, diperoleh : u = x’ – x = OP [ � + � − ����] u = OP[ cos � cos � − sin � sin � − cos �] u = OP ���� cos � − 1 – OP sin � sin � u = x cos � − 1 – y sin � 2.17.a dan v = y’- y = OP [ ���� + � − ����] v = OP [ sin � cos � + cos � sin � − sin �] 44 v = OP cos � sin � + OP sin � cos � - 1 v = x sin � + y cos � - 1 2.17.b untuk perpindahan yang sangat kecil, maka nilai sin � = � dan cos � = 1, maka : u = −�� = −��� v = �� = ��� sedangkan untuk komponen w diambil : � = ���, � dimana ��, � adalah fungsi warping. Setelah komponen perpindahan ini diperoleh, maka kita akan mensubsitusikan nilai-nilai u, v, dan w ke dalam persamaan 2.4 dan diproleh : Є x = �� �� = �−��� �� = 0 Є y = �� �� = ���� �� = 0 Є z = �� �� = �[�� �,�] �� = 0 � xy = � yx = �� �� + �� �� = �−��� �� + ���� �� = −�� + ��= 0 � xz = � zx = �� �� + �� �� = �[�� �,�] �� + �−��� �� = � � ���,� �� − y� 2.18.a � yz = � zy = �� �� + �� �� = �[�� �,�] �� + ���� �� = � � ���,� �� + x � 2.18.b Tinjau kembali persamaan kesetimbangan. Untuk komponen yang mengalami torsi murni σ z = 0, σ y = 0, σ z = 0, � �� = 0, X = 0, Y = 0, Z = 0 sehingga dari persamaan kesetimbangan didapatkan : �τ zx �� = 0 2.19.a 45 �τ zy �� = 0 2.19.b �τ xz �� + �τ yz �� = 0 2.19.c Persamaan 2.19.a dan 2.19.b menunjukkan bahwa τ zx dan τ zy tidak tergantung pada z. dan komponen tegangan harus memenuhi persamaan 2.19.c oleh karena itu diambil persamaan tegangan geser ini menjadi : τ zx = �� �� τ zy = − �� �� 2.20 Kemudian kedua persamaan diatas disubsitusikan ke persamaan 2.19.c � �� � �� �� � − � �� � �� �� � = 0 Hasil dari ruas kiri dari persamaan ini juga memberikan nilai 0, hal ini menunjukkan bahwa persamaan 2.20 yang diambil memenuhi persamaan 2.19.c Tinjaulah kembali persamaan 2.18. Jika masing-masing � zx dan � zy dideferensi parsialkan terhadap y dan x, maka akan diproleh : ��zx �� = �� �� � ���,� �� − y� ��zy �� = �� �� � ���,� �� + x � ��zx �� = � � � 2 ��,� ���� − 1� 2.21.a ��zy �� = � � � 2 ��,� ���� + 1 � 2.21.b Jika persamaan 2.26.a dikurangakan dengan persamaan 2.26.b, maka akan diproleh : ��zx �� - ��zy �� = − 2� 2.22 Subsitusikan hubungan antara regangan geser dengan tegangan geser pada persamaan 2.4 kedalam persamaan 2.22 maka akan diperoleh : 46 � �� � � �� � � − � �� � � �� � � = − 2� �� �� �� − �� �� �� = − 2�� 2.23 Subsitusikan persamaan 2.20 ke dalam persamaan 2.23 untuk mendapatkan suatu persamaan yang kemudian akan kita kenal sebagai persamaan torsi : � �� � �� ��� − � �� � �� ��� = − 2�� � 2 � �� 2 - � 2 � �� 2 = − 2�� 2.24 Karena permukaan elemen torsi ini bebas dari gaya lateral, maka resultan dari gaya geser r pada potongan melintang daeri elemen torsi pada keliling dari elemen torsi pada keliling potongan ini harus berarah tegak lurus terhadap garis normalnya. Kedua komponen tegangan geser τ zx dan τ zy yang bekerja pada potongan melintang dengan sisi-sisi dx, dy dan ds dapat dinyatakan dengan: Τ zx = τ sin � τ zy = τ cos � Dengan mengacu pada gambar 2.25 maka : sin � = �� �� cos � = �� �� 2.25 Karena komponen tegangan geser pada arah n pada gambar pada keliling elemen harus bernilai nol, maka proyeksi τ zx dan τ zy dalam arah normal adalah : τ zx cos � - τ zy sin � = 0 2.26 47 Gambar 2.29. Potongan melintang elemen torsi Subsitusikan persamaan 2.20 dan2.25 kedalam persamaan 2.26 : �� �� �� �� + �� �� �� �� = �� �� = 0 Dari penyelesaian ini menunjukkan bahwa nilai � konstandi sepanjang keliling S. karena tegangan merupakan turunan parsial dari �, maka nilai konstan � ini dianggap nol. 48 Distribusi τ zx dan τ zy pada potongan melintang yang dibahas harus memenuhi ketiga persamaan berikut : ∑ � � = ∫ τ zx dx dy = ∫ �� �� dx dy = 0 2.27.a ∑ � � = ∫ τ zy dx dy = ∫ � dx dy = 0 2.27.b ∑ � � = T = ∫�x τ zy − y τ zy � dx dy = ∫ �x �� �� + y �� �� � dx dy 2.27.c

2.10.2 Hubungan Antara Momen Torsi dan Fungsi Torsi