Persamaan Differensial Momen Torsi murni Ms dan Momen Torsi Terpilin Mw dan Sudut Puntir

62

a. b.

Gambar 2.37 penampang yang mengalami torsiterpilin Jadi puntir dapat dianggap terdiri dari dua bagian: 1 rotasi elemen, yakni akibat puntir murni, dan 2 tranlasi yang menimbulkan lenturan lateral, yakni akibat pemilinan.

a. b.

Gambar 2.38. Perubahan bentuk warping yang terjadi pada tampang I

2.13 Persamaan Differensial Untuk Torsi Pada Penampang I

2.13.1 Persamaan Differensial Momen Torsi murni Ms dan Momen Torsi Terpilin Mw dan Sudut Puntir

� Tinjaulah posisi sumbu pusat sayap yang melendut pada Gambar 2.39. �� adalah lendutan lateral satu sayap di penampang sejarak � dari ujung batang ; Puntir dicegah di ujung ini 63 � adalah sudut puntir di penampang yang sama, dan �� gambar ganti adalah gaya geser horisontal yang timbul di sayap penampang tersebut akibat lenturan lateral. Perhatikan bahwa anggapan yang penting ialah badan tetap datar selama rotasi, sehingga kedua sapa melendut ke samping dalam jarak yang sama. Jadi, badan dianggap cukup tebal relatif terhadap sayap sehingga badan tidak melentur selama terpuntir karena sayap memiliki penahan puntir yang besar. Dari geometri untuk harga � yang sangat kecil maka tan � ≈ � , maka persamaan berdasarkan gambar 2.39 menjadi : � � ℎ2 = � maka � � = � ℎ 2 Gambar 2.39. Gaya geser akibat pemilinan pada penampang profil I Persamaan 2.60 merupakan satu – satunya hubungan yang paling penting untuk memahami torsi pada penampang profil I. Sudut puntir berbanding langsung dengan lendutan. Syarat batas torsi analog dengan syarat batas lenturan lateral. Maka jika persamaan 2.60 diturunkan tiga kali terhadap z menjadikan : Type equation here . �� � �� = �� �� ℎ 2 64 � 2 � � �� 2 = � 2 � �� 2 ℎ 2 � 3 � � �� 3 = � 3 � �� 3 ℎ 2 Untuk satu sayap hubungan kelengkungan adalah : � 2 � � �� 2 = −� � �� � � � = � � 2 = Momen Inersia untuk satu sayap terhadap sumbu y balok � � = Momen lentur lateral pada satu sayap dan tanda negatif diakibatkan oleh lentur positif seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.39 . Juga, karena � = ����, maka : � 3 � � �� 3 = − �� � �� . 1 �� � , menjadi � 3 � � �� 3 = −� � �� � dimana � 3 � � �� 3 = � 3 � �� 3 ℎ 2 , disubtitusikan ke persamaan 2.63 maka menghasilkan : Type equation here . � � = −�� � ℎ 2 � 3 � �� 3 Berdasarkan gambar 2.39, komponen momen puntir � � yang menimbulkan lenturan lateral pada sayap sama dengan gaya geser sayap kali lengan momen h � � . ℎ. Jadi , badan dianggap tidak memiliki daya tahan geser terhadap pemilinan . � � = � � . ℎ = −�� � ℎ 2 2 � 3 � �� 3 � � = −�� � � 3 � �� 3 65 Dengan � � = � � ℎ 2 2, yang sering disebut dengan konstanta puntir terpilin konstanta warping Momen puntir total � � merupakan jumlah dari bagian rotasi � � dan bagian lentur lateral � � ; jadi dari persamaan 2.59.a dan 2.65.b � � = � � + � � = �� �� �� − �� � � 3 � �� 3 yang merupakan persamaan differensial untuk puntir. Momen puntir � � bergantung pada pembebanan dan umumnya merupakan fungsi polinomial dalam z. Bila persamaan 2.66 dibagi dengan �� � , maka : � 3 � �� 3 − �� �� � �� �� = −� � �� � Dengan memisalkan � 2 = �� �� � , bentuk homogen dari persamaan 2.67 dapat dituliskan sebagai : � 3 � �� 3 − � 2 �� �� = −� � �� � Persamaan differensial tersebut adalah homogen maka ada dua jawaban yaitu PD homogen dan PD non homogen : Untuk PD Homogen dari persamaan � 3 � �� 3 − � 2 �� �� = 0 Misalkan � = �� �� �� �� = �. �. � �� � 2 � �� 2 = �. � 2 . � �� � 3 � �� 3 = �. � 3 . � �� 2.70.a 2.70.c 2.70.b 66 Subtitusi persamaan 2.70.a dan 2.70.c ke persamaan 2.69 menghasilkan : �. � 3 . � �� − � 2 �. �. � �� = 0 �. � �� � 3 − � 2 . � = 0 Sehingga syaratnya menjadi �� 2 − � 2 = 0 ; � = 0 , � = ±� Dengan demikian : Jadi � = � 1. � �� + � 2. � −�� + � 3 Bila penyelesaian ini dinyatakan dalam fungsi hiperbola dan konstantanya dikelompokkan, maka : � 1 = �. ���ℎ�� + �. ���ℎ�� + � dengan : � = 1 � = � �� �� � Untuk penyelesaian khusus, dari : � 3 � �� 3 − � 2 �� �� = −� � �� � � 2 = � 1 � dan � � = �� Maka persamaan 2.75 menjadi : � 3 � 1 � �� 3 − � 2 �� 1 � �� = − 1 �� � �� Dimana suku – suku pada ruas kiri harus dipadankan dengan suku – suku pada ruas kanan. Suku pada � 1 � umumnya tidak perlu berderajat lebih dari dua. Maka jawaban total � = � 1 + � 2 dengan � = ����� ����� Sekarang tinjau balok 2 perletakan dengan memakai profil I dimana ujung – ujung berupa sendi bertumpuan sederhana yaitu pada Gambar 2.40. 2.71.a 2.71.b 2.72 2.73 2.74 2.75 2.76 67 Gambar 2.40.Momen torsi terpusat ditengah bentang bertumpuan sederhana terhadap torsi Momen torsi bekerja di tengah bentang, maka akan ditentukan persamaan untuk sudut torsi � dan besar tegangan geser akibat torsi murni dan warping serta tegangan normal yang terjadi akibat lendutan arah lateral, disini langkah – langkahnya adalah sebagai berikut : Distribusi momen torsi total � � = � � + � � , yang menyebabkan geser pada flens. Distribusi momen torsi � � akibat torsi murni � � = �� �� �� , Distribusi momen torsi � � = −�� � � 3 � �� 3 . Karena � � bernilai konstan maka � dapat berbentuk � + � � . A adalah jawaban umum persamaan diferensial homogen sedangkan B jawaban khusus persamaan diferensial homogen. 68 Kembali ke persamaan diferensialnya : � 3 � �� 3 − �� �� � �� �� = � � �� � � = � + � � �� �� = � � 2 � �� 2 = 0 Maka : − � �� �� � = �2 �� � � = � 2 �� Jadi jawaban umum PD homogen adalah : � = �. ���ℎ�� + �. ���ℎ�� + � + � 2 �� � Sekarang tinjau syarat batas untuk tumpuan sederhana terhadap torsi . Berdasarkan lentur sayap ke samping karena � sebanding dengan � � , syarat tumpuan sederhana berarti momen dan lendutan di setiap ujung sama dengan nol, atau untuk torsi. Syarat batas : � = 0 pada z = 0 dan z = L � 2 � �� 2 = � = 0 di z = 0 dan z = L dalam masalah ini, persamaan differensial diskontinu di L2; jadi dengan menggunakan kemiringan sayap sama dengan nol di L2 yakni �′ = 0 serta � = 0 dan � = 0 di z =0, ketiga konstanta dalam persamaan 2.80 dapat ditentukan : 2.77 2.79.a 2.79.b 2.80 2.78 69 1. dari � = 0 pada z = 0 ; maka 0 = � + � 2. � 2 � �� 2 = � = 0 di z = 0 dan z = L , maka ∶ �� �� = �. �. ���ℎ�� + �. �. ���ℎ�� + � 2 �� � 2 � �� 2 = �. � 2 . ���ℎ�� + �. � 2 . ���ℎ�� 0 = 0 +B diperoleh B = 0 2.82 Harga 2.82 disubtitusikan ke Persamaan 2.81 diperoleh C = 0 Dengan memasukkan � ′ = �� �� = 0 di z = L2 Kemiringan flen di tengah bentang = 0 �� �� = �. �. ���ℎ�� + �. �. ���ℎ�� + � 2 �� 0 = �. �. ���ℎ. �� 2 + � 2 �� Type equation here . � = − � 2 ��� . 1 ���ℎ�. � 2 Dari harga A, B, dan C diperoleh persamaan untuk jawaban total, � = − � 2 �� . � 1 ���ℎ� � 2 � . ���ℎ�� + � 2 �� � Sehingga persamaan untuk sudut puntir � menjadi : � = � 2 ��� . ��� − ���ℎ�� ���ℎ� � 2 � Dan ; �′ = � 2 �� . �1 − ���ℎ�� ���ℎ� � 2 � 2.81 2.83 2.84 2.85 2.86 2.87.a 70 �′′ = �� 2 �� . � −���ℎ�� ���ℎ� � 2 � �′′′ = �� 2 2 �� . � −���ℎ�� ���ℎ� � 2 �

2.13.2 Tegangan Geser akibat Torsi Murni