36
Kemudian diproleh dari pembahasan diatas beberapa besaran berikut : Є
x
=
�� ��
Є
y
=
�� ��
Є
z
=
�� ��
�
xy
= �
yx
=
�� ��
+
�� ��
�
xy
= �
yx
=
�� ��
+
�� ��
�
xy
= �
yx
=
�� ��
+
�� ��
2.4 Keenam besaran ini disebut sebagai komponen regangan geser.
2.9.6 Hukum Hooke
Hubungan linier antara komponen tegangan dan reganganumumnya dikenal sebagai hokum hooke. Satuan perpanjangan elemen hingga batas proporsional
diberika oleh : Є
x
=
σx �
2.5 Dimana E adalah modulus elastisitas dalam tarik modulus of elasticity in
tension. Bahan yang digunakan dalam struktur biasanya memiliki modulus yang sangat besar dibandingkan dengan tegangan izin, dan besarnya perpanjangan sangat
kecil. Perpanjangan elemen dalam arah x ini akan diikutu dengan pengecilan pada komponen melintang yaitu :
Є
x
= - ϑ
σx �
Є
x
= - ϑ
σx �
2.6
Dimana ϑ adalah suatu konstanta yang disebut dengan ratio poisson
Poisson’s Ratio. Untuk sebagian besar bahan, ratio poisson dapat diambil sama dengan 0,25. Untuk baja struktur biasanya diambil 0,3.
Apabila elemen diatas mengalami kerja tegangan normal σ
x,
σ
y,
σ
z
secara serempak, terbagi rata di sepanjang sisinya, komponen resultante regangan dapat
diproleh dari persamaan 2.5 dan 2.6.
37
Є
x
=
1 �
[ σ
x
– ϑ σ
y
+ σ
z
] 2.7.a
Є
y
=
1 �
[ σ
y
– ϑ σ
x
+ σ
z
] 2.7.b
Є
z
=
1 �
[ σ
z
– ϑ σ
x
+ σ
y
] 2.7.c
Pada persamaan 2.7.a.b.chubungan antara perpanjangan dan tegangan sepenuhnya didefeisikan oleh konstanta fisik yaitu E dan
ϑ. Konsatanta yang sama dapat juga digunakan untuk mendefinisikan hubungan antara regangan geser dan
tegangan geser.
Gambar 2.25. Perubahan bentuk segi empat Paralellogram
Tinjaulah kasus khusus yaitu perubahan bentuk segi empat parelelogram diaman σ
z
= σ, σ
y
= - σ, σ
z
= 0. Potonglah sebuah elemen abcd dengan bidang yang sejajar dengan sumbuk x dan terletak 45 derajat terhadap sumbu y dan z Gambar
38
2.25. Dengan menjumlah gaya sepanjang dan tegak lurus bc, bahwa tegangan normal pada sisi elemen ini nol dan tegangan geser pada sisi adalah :
τ = 1 2 � σ
z
– σ
y
= σ 2.8
Kondisi tegangan seperti itu disebut geser murni pure shaer. Pertambahan panjang elemen tegak Ob dan Oc, dan dengan mengabaikan besaran kecil dari orde
kedua, kita bias menyimpulkan bahwa panjang elemen ab dan bc berubah dan besarregangan geser yang bersangkutan
� bisa diproleh dari segi tiga Obc. Sebuah perubahan bentuk akan didapatkan :
�� ��
= tan �
� 4
−
� 2
� =
1+ Єy
1+ Єz
2.9
Untuk � yang kecil, tan � 2
� ≈ � 2 � , maka :
�� ��
= tan �
� 4
−
� 2
� =
tan
� 4
− tan
� 2
1+ tan
� 4
tan
� 2
=
1 −
� 2
1+
� 2
=
1+ Єy
1+ Єz
Maka diperoleh : Є
y = -
� 2
� dan Є
z =
� 2
� 2.10
Sedangkan jika nilai-nilai σ
z
= σ, σ
y
= - σ, dan σ
z
= 0 di substitusikan kedalam persamaan 2.7.a, 2.7.bdan 2.7.cmaka akan diproleh :
Є
y =
1 �
- σ - ϑ σ = -
1+ ϑ σ
�
= -
� 2
Є
y =
1 �
�σ – ϑ− σ � = -
1+ ϑ σ
�
=
� 2
39
Maka diperoleh hubungan antara regangan dengan regangan geser :
Є
=
� 2
2.11
Hubungan antara regangan dan tegangan geser didefinisikan oleh konstanta E dan v yaitu :
� =
2 1+ ��
�
=
21+ � �
�
2.12
Jika digunakan notasi :
G
=
� 2 1+
�
2.13
Maka persamaan 2.12akan menjadi
� =
� �
2.14
Dimana konstanta G didefinisikan oleh 2.13 dan disebut modulus elastisitas dalam geser atau modulus kekakuan.
Apabila tegangan geser bekerja ke semua sisi elemen, seperti terlihat pada gambar 2.25 pelintingan sudut antara dua sisi yang berpotongan hanya bergantung
kepada komponen tegangan geser yang bersangkutan dan diproleh : �
xy
=
�
��
�
�
yz
=
�
��
�
�
xz
=
�
��
�
2.15
40
2.9.7 Teori Analogi Membrane Elastic oleh Prandtl Soap Film Analogy
