48
Distribusi τ
zx
dan τ
zy
pada potongan melintang yang dibahas harus memenuhi ketiga persamaan berikut :
∑ �
�
= ∫ τ
zx
dx dy = ∫
�� ��
dx dy = 0 2.27.a
∑ �
�
= ∫ τ
zy
dx dy = ∫ � dx dy = 0
2.27.b ∑ �
�
= T = ∫�x τ
zy
− y τ
zy
� dx dy = ∫ �x
�� ��
+ y
�� ��
� dx dy 2.27.c
2.10.2 Hubungan Antara Momen Torsi dan Fungsi Torsi
Dengan menyelesaikan persamaan 2.27 maka akan diproleh hubungan antara momen torsi dan fungsi torsi dengan fungsi torsi. Ambillah suatu komponen
integral dari persamaan 2.27. Karena fungsi tegangan tidak bervariasi dalam arah y untuk sebuah garis setebal dy seperti tampak pada gambar 2.24, tutunan parsial dapat
digantikan dengan suatu turunan total sehingga diproleh : ∬ x
�� ��
dx dy = −dy ∫ x
�� ��
dx = −dy ∫
��� = −dy �x � � − ∫ ���
x
B
x
A
A B
�
�� ��
Mengingat nilai � pada tepi-tepi elemen �
�
= ϕ
B
= 0, maka diproleh : − � x
�� ��
dx dy = � ϕ dx dy
Langkah yang sama dilakukan untuk komponen lain dari integral pada persamaan 2.19 sehingga diperoleh :
− � y ∂ϕ
∂y dx dy =
� ϕ dx dy Dengan menjumlahkan kedua komponen ini, maka diproleh hubungan antara
torsi dengan fungsi torsi yaitu : T =
− �∬ x
∂ϕ ∂y
dx dy + ∬ y
∂ϕ ∂y
dx dy � = 2 ∬ ϕ dx dy
2.28
49
2.10.3 Puntir Murni Pada Penampang Homogen
Sebelum meninjau profil struktural pada lokasi yang dikekang restrained terhadap pemilinan warping penampang lintang, kita perlu memahami tegangan
geser akibat puntir murni dan kelakuan puntir.
Gambar 2.30. Torsi pada batang prismatis Tinjaulah momen torsi T yang bekerja pada batang pejal solid prismatis
dengan bahan homogen dalam Gambar 2.30. Anggaplah pemilinan keluar bidang tidak terjadi atau dapat diabaikan pengaruhnya pada sudut puntir
�. Anggapan ini mendekati kenyataan bila ukuran penampang lintang sangat kecil dibanding panjang
batang dan sudut lekukan penampang tidak besar. Juga, pada saat terpuntir penampang lintang dianggap tidak mengalami distorsi. Jadi, laju puntir puntir per
satuan panjang dapat dinyatakan sebagai : � = ������ ������ =
�� ��
2.29
50
yang dapat dipandang sebagai lengkungan torsi laju perubahan sudut puntir . Karena regangan diakibatkan oleh rotasi relatif antara penampang lintang di z dan
z+dz , maka besarnya perpindahan di suatu titik sebanding dengan jarak r dari pusat puntir. Sudut regangan atau regangan geser
� di suatu elemen sejarak r dari pusat adalah:
��� = ��
�
� = � �
�� ��
�. = r� 2.30
Bila G adalah modulus geser, maka berdasarkan hukum Hooke tegangan geser
�
menjadi : � = ��
Jadi seperti yang ditunjukkan pada gambar , torsi elementer adalah : �� = �. �. �� = �. �. �. �� = �
2
. �
�� ���
. �. ��
Momen penahan keseimbangan total adalah : � = � �
2 �
�� ��
� �� Serta karena
���� dan G konstan di sembarang penampang : � =
�� ��
. � � �
2 �
�� = �� ��
�� dengan : J = =
∫ �
2 �
�� = konstanta torsi, atau momen inersia polar untuk penampang lingkaran.
G = Modulus Geser =
� 21+
�
51
Persamaan 2.34 analog dengan persamaan untuk lentur, yakni momen lentur M sama dengan kekakuan EI kali lengkungan,
�
2
���
2
. Disini momen torsi T sama dengan kekakuan puntir GJ kali kelengkungan puntir laju perubahan sudut puntir .
Tegangan geser kemudian dapat dihitung dengan persamaan 2.30 dan 2.31, � = �� = �.
�� ��
. �
dan ��
�� =
� ��
sehingga � =
�� �
Dari persamaan diatas dapat disimpulkan bahwa tegangan geser akibat torsi sebanding dengan jarak radial dari titik pusat torsi.
2.10.4 Puntir Murni Pada Penampang Segi Empat
