dilihat dari seberapa bisa siswa menguasai suatu permasalahan yang diberikan dan mendapatkan solusi dari permasalahan tersebut.
4. Efektivitas
Keefektifan pembelajaran, diukur dari tingkat pencapaian siswa, dan terdapat empat indikator untuk mempreskripsikannya, yaitu 1 kecermatan
penguasaan perilaku yang dipelajari, 2 kecepatan unjuk kerja, 3 tingkat alih belajar, 4 tingkat retensi. Wena M, 2009 : 6
Salah satu keberhasilan proses belajar-mengajar dilihat dari hasil belajar yang dicapai siswa. Dalam hal ini, aspek yang dilihat antara lain :
a perubahan pengetahuan, sikap, dan perilaku siswa setelah menyelesaikan pengalaman belajarnya
b kualitas dan kuantitas penguasaan tujuan instruksional oleh para siswa c jumlah siswa yang dapat mencapai tujuan instruksional minimal 75 dari
jumlah instruksional yang harus dicapai d hasil belajar tahan lama diingat dan dapat digunakan sebagai dasar dalam
mempelajari bahan berikutnya Dalam penelitian ini efektivitas pembelajaran dapat diartikan sebagai suatu
keberhasilan dalam proses pembelajaran dengan mencapai tujuan pembelajaran yang dapat meningkatkan keaktifan dan hasil belajar siswa. Indikator dari
efektivitas pembelajaran juga dapat dilihat dari tercapainya indikator pembelajaran pada pokok bahasan sistem persamaan linear dua variabel.
5. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Berdasarkan kurikulum 2013 materi sistem persamaan linear dua variabel memiliki kompetensi dasar menentukan nilai variabel persamaan linear dua
variabel dalam konteks nyata. a Persamaan Linear Satu Variabel PLSV
Kalimat terbuka adalah kalimat yang mengandung satu atau lebih variabel dan belum diketahui nilai kebenarannnya. Variabel peubah adalah
lambang pada kalimat terbuka yang dapat diganti oleh sembarang anggota himpunan yang telah ditentukan. Persamaan adalah suatu pernyataan
matematika dalam bentuk simbol yang menyatakan bahwa dua hal adalah persis sama. Persamaan ditulis dengan tanda sama dengan =. Persamaan
linear adalah sebuah persamaan aljabar dimana tiap sukunya mengandung konstanta atau perkalian konstanta dengan tanda sama dengan = serta
variabelnya berpangkat satu. Persamaan Linear Satu Variabel adalah persamaan yang memuat satu
variabel dan pangkat variabelnya adalah satu. Bentuk umum persamaan linear satu variabel yakni
+ = dengan ≠ , , dimana
dinamakan variabel, dinamakan koefisien dan dinamakan konstanta. Bilangan-bilangan real yang menjadikan kalimat terbuka menjadi pernyataan
benar atau memenuhi kalimat terbuka dinamakan penyelesaian persamaan.
Contoh : 1 Persamaan
+ = dan
= merupakan PLSV karena hanya
memiliki satu variabel, yaitu x dan memenuhi bentuk + =
2 Misal, Heru membeli 2 pensil seharga Rp 4.000,00. Dapatkah kamu menentukan harga satu pensil jika kedua pensil tersebut harganya sama?
Jawab : Jika harga satu pensil dimisalkan maka harga 2 pensil dapat ditulis bentuk PLSV, yaitu
− = . Pada bentuk tersebut,
dinamakan variabel, bilangan 2 dinamakan koefisien dari , dan 4000 dinamakan
konstanta. Persamaan
− = mempunyai
penyelesaian =
. Nilai =
dinamakan penyelesaian dari −
= . Kumpulan dari semua penyelesaian suatu persamaan dinamakan
himpunan penyelesaian persamaan . Himpunan penyelesaian dari persamaan
+ = , , ∈ ℝ adalah
{ |
= − , , ∈ ℝ
}
.
b Persamaan Linear Dua Variabel PLDV
Suatu persamaan yang mempunyai dua variabel dan masing- masing variabel berpangkat satu, dan dapat dinyatakan dalam bentuk
+ + =
dengan dan tidak semuanya nol, , , ∈ ℝ dinamakan persamaan
linear dua variabel. Persamaan ini adalah kalimat terbuka dengan
dan sebagai variabel peubah,
dan sebagai koefisien, serta sebagai PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
konstanta. Bilangan-bilangan real yang jika disubsitusikan kalimat terbukanya menjadi pernyataan benar atau memenuhi kalimat terbuka
dinamakan penyelesaian. Himpunan penyelesaiannya
adalah kumpulan semua penyelesaian dari persamaan linear dua variabel. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
{ , | +
+ = , ,
∈ ℝ
}. Secara geometri, persamaan linear dua variabel
+ + = dengan
dan tidak semuanya nol, dan positif, serta , , ∈ ℝ adalah sebuah
diagram cartesius seperti diperlihatkan pada gambar berikut : Y
0, -
X - , 0
Gambar 2.1. Grafik +
+ = Contoh soal :
Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan + − =
a.
∈
{ -1,0,1,2,3 } dan
∈
{ bilangan bulat } b.
, ∈ ℝ
Penyelesaian : a.
Untuk menentukan pasangan pengganti dan yang mengubah + − = menjadi pernyataan yang benar, kita tempuh
langkah – langkah sebagai berikut :
Untuk = -1 , maka 2-1 + – 4 = 0 = 6
= 0 , maka 20 + – 4 = 0 = 4
= 1 , maka 2 1 + – 4 = 0 = 2
= 2 , maka 2 2 + – 4 = 0 = 0
= 3 , maka 2 3 + – 4 = 0 = -2
Tabel 2.2 : Tabel Penyelesaian
-1 1
2 3
6 4
2 -2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-1,6, 0,4, 1,2, 2,0, 3,-2}
b. Karena , ∈ ℝ, maka terdapat pasangan berurutan yang tak
terhingga banyaknya dalam himpunan penyelesaiannya. Dengan kata lain, persamaan linear dua variabel tersebut mempunyai
banyak kemungkinan jawaban. Kita dapat menyatakan dalam notasi pembentuk himpunan sebagai berikut : {
,
|
+ − = , ,
∈ ℝ
} PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
c Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
{
⋮. +
= +
=
Bentuk Umum tersebut dinamakan Sistem Persaman Linear Dua Variabel dalam bentuk baku dengan
, , , dinamakan koefisien, dan dinamakan konstanta, serta dan dinamakan variabel peubah.
Himpunan penyelesaiannya adalah kumpulan semua penyelesaian sistem
persamaan linear dua variabel itu. Dari uraian diatas, terlihat perbedaannya bahwa persamaan linear dua
variabel memiliki sebuah persamaan linear dua variabel , sedangkan sistem persamaan linear dua variabel memiliki dua atau lebih persamaan linear
yang merupakan satu kesatuan sistem. Jika masing - masing persamaan linear tersebut dinyatakan dalam
diagram cartesius maka terdapat 3 kemungkinan jawaban sistem persamaan linear, yaitu:
1 Mempunyai satu penyelesaian. Terjadi jika dua garis berpotongan
dengan ≠ , seperti pada gambar 2.2 berikut :
+ =
+ =
Gambar 2.2 Dua Garis Berpotongan
2 Mempunyai banyak penyelesaian. Terjadi jika dua garis berimpit
dengan = = , seperti pada gambar 2.3 berikut:
a + b – p = c + d - q
Gambar 2.3 Dua Garis Berimpit PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3 Tidak mempunyai penyelesaian. Terjadi jika dua garis sejajar dengan
= dan a,b,c,d positif seperti pada gambar 2.4 berikut : Y
a + b = p c + d = q
X
Gambar 2.4 Dua Garis Sejajar Berikut ini adalah contoh soal yang berbentuk soal cerita tentang
penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel : Pada suatu hari Budi membeli beberapa keperluan sekolah di Toko Baru.
Budi membeli 5 pulpen dan 3 pensil kemudian ia membayar dengan uang Rp 50.000,00 dan mendapatkan kembalian Rp 15.000,00. Sepulang dari
sekolah, Anjani juga membeli beberapa keperluan sekolah yang terdiri dari 2 pulpen dan 1 pensil seharga Rp 30.000,00 yang ia beli di toko yang sama.
Kemudian Budi bertanya kepada Anjani harga 1 pulpen dan 1 pensil di toko tersebut, tetapi Anjani tidak bisa menjawab dan akhirnya mereka
kebingungan. Atika mendengarnya dan membantu menyelesaikan masalah tersebut. Atika berkata bahwa kasus tersebut merupakan sistem persamaan
linear dua variabel dan dapat diselesaikan dengan beberapa cara, yaitu grafik, substitusi, dan eliminasi.
Terdapat tiga metode untuk mencari himpunan penyelesaian suatu sistem persamaan linear dua variabel antara lain :
1 Metode grafik Pada metode grafik, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear
dua variabel adalah koordinat titik potong dua garis tersebut. Jika garis- garisnya tidak berpotongan di suatu titik tertentu maka himpunan
penyelesaiannya adalah himpunan kosong. Langkah-langkah untuk menyelesaikan sebagai berikut :
- Carilah himpunan penyelesaian masing-masing persamaan pada satu
bidang koordinat -
Gambarlah grafik himpunan penyelesaian masing-masing persamaan pada satu bidang koordinat
- Tentukan titik potong kedua grafik tersebut. Kalau kedua garis tidak
berpotongan sejajar, sistem persamaan itu tidak mempunyai penyelesaian
- Titik potong kedua grafik tersebut merupakan himpunan penyelesaian
sistem persamaan tersebut 2 Metode Substitusi
Penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan metode substitusi, dengan menyatakan variabel yang satu ke dalam variabel yang
lain dari suatu persamaan, kemudian menyubstitusikan menggantikan variabel itu dalam persamaan yang lainnya.
Langkah-langkah untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel menggunakan metode substitusi :
- Kedua persamaan dalam bentuk
+ =
- Samakan koefisien dari variabel yang akan dihilangkan dengan cara
mengalikan dengan bilangan yang sesuai tanpa memperhatikan tanda -
Kalau koefisien dari variabel bertanda sama sama positif atau sama negatif maka kurangkan kedua persamaan tersebut. Kalau koefisien
dari variabel yang dihilangkan tandanya berbeda, jumlahkan kedua persamaan tersebut.
3 Metode Eliminasi Pada metode eliminasi, untuk menentukan himpunan penyelesaian
dari sistem persamaan linear dua variabel, caranya adalah dengan menghilangkan mengeliminasi salah satu variabel dari sistem
persamaan tersebut. Jika variabelnya , untuk menentukan
variabel harus mengeliminasi variabel
terlebih dahulu, atau sebaliknya.
Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan metode substitusi sebagai berikut :
- Nyatakan suatu variabel dalam variabel lain, misal menyatakan dalam
y atau sebaliknya -
substitusikan persamaan yang telah ditemukan dari variabel atau ke salah satu persamaan
- Substitusikan nilai yang telah ditemukan dari variabel atau ke salah
satu persamaan 4 Metode Gabungan
Pada metode ini dilakukan penggabungan metode eliminasi dan metode substitusi. Awalnya carilah nilai salah satu variabel dengan
menggunakan metode eliminasi, kemudian gunakan nilai variabel tersebut untuk mendapatkan nilai variabel lain dengan menggunakan
metode substitusi.
6. Pembelajaran Berbasis Masalah Pada Pokok bahasan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
