17
Program Linear
Dari tabel tersebut, nilai maksimum fungsi diperoleh pada titik B3, 2, yaitu sebesar 460.
Jadi, nilai maksimumnya adalah 460 pada titik B3,2.
Contoh Soal 1.9
Dengan menggunakan uji titik pojok, tentukan nilai minimum fungsi objektif f
f ff x, y = 1.000x
0 + 1.500 x
y pada daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan berikut.
x + x
y ≥ 5 x + 3 ≥ 9
x 3x +
x y ≥ 9, jika diketahui x ≥ 0 dan
x y ≥ 0
Jawab: Langkah-langkah penyelesaiannya sebagai berikut.
a.
Tentukan graik himpunan penyelesaian pertidaksamaan. x +
x y ≥ 5, x + 3
x y ≥ 9, 3x +
x y ≥ 9, x ≥ 0,
x y ≥ 0
Grafik himpunan penyelesaiannya ditunjukkan oleh gambar berikut.
P P
P P
y
x 3
5 9
3 3x +
x y = 9
x + 3 x
y = 9 O
R R
R R
R R
R S
S S
S 5
9 Q
Q Q
Q Q
Q Q
Q
x + x
y = 5
Daerah yang diarsir adalah himpunan penyelesaian pertidak- samaan tersebut.
b. Tentukan koordinat titik-titik pojok dari daerah himpunan
penyelesaiannya. Dari daerah penyelesaian fungsi terdapat 4 titik pojok. Dari
keempat titik tersebut, koordinat titik Q dan R belum diketahui. Tentukanlah koordinat titik Q dan R.
r
5JUJL Q merupakan titik potong garis 3x + x
y = 9 dan garis x +
x y = 5.
Dengan mengeliminasi kedua persamaan tersebut, diper- oleh hasil sebagai berikut.
x + x
y = 5 3x +
x y = 9
– –2x
2 2 = –4
x x = 2
x
Solusi Cerd So
So olu
lu ussi
Cerdas C
Ceerd rd
a da
as
Nilai maksimum dari f
ff x, y = 20x + 8 untuk nilai x
x dan x
y yang memenuhi y
x + x
y 20; 2 y
x + x
y 48; y
0 x 20, dan 0 x
y 48 y
adalah .... a.
408
b. 456
c. 464
d. 480
e. 488
Jawab: Buatlah gra¿k daerah
himpunan penyelesaian
C A
A A
B D
D D
D D
y y = 48
x = 20
x + y = 20 2x + y =
2 2
48 x
20 20
20 48
48
24
O Titik B merupakan titik
potong garis 2x +
x y = 48 dengan
y x = 20.
x Substitusikan x = 20 ke
x persamaan 2x +
x y = 48
y 2x +
x y = 48
y 220 + y = 48
y 40 + y = 48
y y = 8
y Jadi, koordinat titik B 20, 8
Titik Pojok Daerah
f ff x, y =
y y
20x + 8
A20, 0 B20, 8
C0, 48 D0, 20
2020 + 8 = 40
2020 + 8 = 408
200 + 8 = 8 200 + 8 = 8
Jadi, nilai maksimum f ff x, y
y y
= 20x + 8 adalah 408 x
Jawaban: a
Soal SPMB, 2005
Di unduh dari : Bukupaket.com
Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMKMAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan
18
Substitusikan x = 2 ke dalam salah satu persamaan, misal- x
nya ke persamaan x + x
y = 5. x +
x y = 5
y = 5 – x y = 5 – 2
= 3 Jadi, koordinat titik Q adalah 2, 3.
r 5JUJL R merupakan titik potong garis x +
x y = 5 dan garis
x + 3 x
y = 9. Dengan mengeliminasi kedua persamaan tersebut, diper-
oleh hasil sebagai berikut. x +
x y = 5
x + 3 x
y = 9 –
–2y = –4 y = 2
Substitusikan y = 2 ke dalam salah satu persamaan, misal- nya x +
x y = 5.
x + x
y = 5 x = 5 –
x y
x = 5 – 2 x
= 3 Jadi, koordinat titik R adalah 3, 2.
Dari perhitungan tersebut, diperoleh semua titik pojok daerah penyelesaian, yaitu P0, 9, Q2, 3, R3, 2, S9, 0.
c
5FOUVLBO OJMBJ f ff x, y = 100x
0 + 80 x
y pada titik pojok daerah penyelesaian.
Substitusikanlah semua koordinat titik pojok ke dalam fungsi objektif f
ff x, y = 1.000x 0 + 1.500
x y. Hasil perhitungannya sebagai
berikut.
Titik Pojok x , y
Fungsi Objektif f
ff x , y = 1.000x
0 + 1.500y
5JUJL P0, 9 f0, 9 = 1.0000 + 1.5009 = 13.500
ff 5JUJL Q2, 3
f2, 3 = 1.0002 + 1.5003 = 6.500 ff
5JUJL R3, 2 f3, 2 = 1.0003 + 1.5002 = 6.000
ff 5JUJL S9, 0
f9, 0 = 1.0009 + 1.5000 = 9.000 ff
Dari tabel tersebut, nilai minimum fungsi yaitu 6.000 diperoleh pada titik R3, 2.
Jadi, titik optimumnya R3, 2 dengan nilai optimum 6.000.
Contoh Soal 1.10
Pengusaha kue bolu membuat dua jenis adonan kue bolu, yaitu kue bolu A dan kue bolu B. Kue bolu A memerlukan 300 gram terigu
dan 40 gram mentega. Kue bolu B memerlukan 200 gram terigu dan
Nilai maksimum dari x +
x y – 6 yang memenuhi
y x 0,
x y 0, 3
y x + 8
x y 340,
y 7x + 4
x y 280 adalah ....
y
a. 52
