19
Program Linear
60 gram mentega. Jika tersedia 12 kilogram terigu dan 3 kilogram mentega, berapa banyak adonan kue bolu A dan kue bolu B yang
harus dibuat agar diperoleh jumlah kue sebanyak-banyaknya?
Jawab: Langkah-langkah pengerjaannya sebagai berikut.
a.
Buatlah model matematika. Anda dapat membuat tabel seperti berikut untuk memudahkan
penerjemahan soal cerita ke dalam model matematika.
Bahan yang Diperlukan
Jenis Kue Bolu Bahan yang
Tersedia A
B 5FSJHV
Mentega 300 gram
40 gram 200 gram
60 gram 12.000 gram
3.000 gram
Misalkan, x adalah banyaknya adonan kue bolu x
A dan y adalah banyaknya adonan kue bolu B.
Dari tabel tersebut, dapat Anda buat model matematikanya sebagai berikut.
300x 0 + 200
x y ≤ 12.000
Æ 3x + 2
x y ≤ 120
40x 0 + 60
x y ≤ 3.000
Æ 2x
2 2 + 3
x y ≤ 150
Banyaknya adonan kue tidak mungkin bernilai negatif maka nilai x ≥ 0 dan
x y ≥ 0. Dari soal cerita, Anda diminta menentukan
banyak adonan kue bolu A dan kue bolu B agar diperoleh jumlah kue sebanyak-banyaknya. Artinya, Anda diminta mencari nilai
maksimum dari fungsi objektif. Fungsi objektif permasalahan ini adalah f
ff x, y = x + x
y jumlah kue bolu A dan kue bolu B yang dapat diperoleh.
b. Buatlah graik himpunan penyelesaian dari sistem pertidak-
samaan dari model matematika yang telah dibuat dengan fungsi kendala berikut.
3x + 2 x
y ≤ 120 2x
2 2 + 3
x y ≤ 150
x ≥ 0 x
y ≥ 0 Graik penyelesaiannya ditunjukkan oleh gambar berikut.
y
x 40
75 60
3x + 2 x
y = 120 2x
2 2 + 3
x y = 150
O C
B
A 50
Daerah yang diarsir adalah daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan.
Sumber: blog.fatfreevegan.com
Gambar 1.3
Program linear dapat digunakan pada industri kue bolu.
Di unduh dari : Bukupaket.com
Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMKMAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan
20
c.
Menentukan koordinat titik pojok dari daerah penyelesaian. Dari gambar daerah penyelesaian tersebut, terdapat 4 titik pojok,
yaitu titik O, A, B, dan C. Dari keempat titik tersebut, koordinat titik B belum diketahui. Tentukanlah koordinat titik B tersebut.
Titik B merupakan titik potong garis 3x + 2
x y = 120 dan garis
2x 2
2 + 3 x
y = 150 sehingga eliminasilah kedua persamaan garis tersebut untuk memperoleh koordinat titik B.
3 2
120 2
3 150
3 2
9 6
360 4
6 300
x y
2 x
y 3
x y
6 x
y 6
= 2y
2 =
3y 3
¥ ¥
= 6y
6 =
6y 6
- 5x = 60
x x = 12
x Substitusikan nilai x = 12 ke salah satu persamaan tersebut,
x misalnya 3x + 2
x y = 120.
3x + 2 x
y = 120 312 + 2y = 120
36 + 2y = 120 2y = 84
y = 42 Jadi, koordinat titik B adalah 12, 42.
Dengan demikian, semua koordinat titik pojoknya adalah O0, 0, A40, 0, B12, 42, dan C0, 50.
d.
Menentukan nilai fungsi objektif f ff x, y = x +
x y pada titik pojok
daerah penyelesaian. Substitusikan semua koordinat titik pojok ke dalam fungsi
objektif f ff x, y = x +
x y sehingga diperoleh hasil seperti pada
tabel berikut.
Titik Pojok x , y
Fungsi Objektif f
ff x , y = x + y
Titik O0, 9 f0, 0 = 0 + 0 = 0
ff Titik A40, 0
f40, 0 = 40 + 0 = 40 ff
Titik B12, 42 f12, 42 = 12 + 42 = 54
ff Titik C0, 50
f0, 50 = 0 + 50 = 50 ff
Dari tabel tersebut nilai maksimum fungsi objektif adalah 54 untuk nilai x = 12 dan nilai
x y = 42.
Jadi, agar diperoleh jumlah kue bolu sebanyak-banyaknya, harus dibuat adonan kue bolu A sebanyak 12 dan adonan kue
bolu B sebanyak 42.
Tugas Siswa Tu
Tugas S is
isw a
a 1.2
Tentukanlah nilai maksimum dan minimum dari model matematika yang Anda buat pada Tugas Siswa 1.1. Kemudian,
kumpulkan tugas tersebut pada guru Anda.
Di unduh dari : Bukupaket.com
21
Program Linear
1.
Gambar berikut adalah graik himpunan pe- nyelesaian suatu sistem pertidaksamaan.
y
x 20 25
6
O E0, 6 D2, 6
C5, 4 B7, 2
A8, 0
Pada daerah himpunan penyelesaian ter- sebut, tentukan nilai maksimum dari fungsi-
