5
Program Linear
Kegiatan Siswa 1.1
Buatlah kelompok yang beranggotakan empat orang siswa. Setiap anggota kelompok menentukan daerah penyelesaian dan anggota
daerah penyelesaian dari salah satu soal-soal berikut. 1.
4x + 3 x
y ≤ 12
3. 4x + 3
x y
12
2. 4x + 3
x y ≥ 12
4. 4x + 3
x y
12 Kemukakan hasil yang telah Anda peroleh di depan kelas.
Kesimpulan apa yang dapat diambil?
2. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Sistem pertidaksamaan linear adalah sistem yang kom- ponen-komponennya terdiri atas sejumlah pertidaksamaan
linear. Penyelesaian dari sistem pertidaksamaan merupakan irisan penyelesaian dari setiap pertidaksamaan. Jika Anda
memperoleh penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear, penyelesaian tersebut merupakan pe
nyelesaian untuk satu sistem, bukan penyelesaian masing-masing pertidaksamaan.
Contoh Soal 1.2
Gambarlah graik himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan berikut dengan x dan y
Œ [.
a. 3x + 2y ≤ 6 x ≥ 0
y ≥ 0 b. 2x + y ≤ 6
x + 3y ≤ 9 x ≥ 0
y ≥ 0
Jawab: a. Langkah pertama menggambar graik himpunan penyelesaian
adalah menentukan daerah himpunan penye lesaian untuk
masing-masing pertidaksamaan, kemudian tentu kan daerah
irisannya. r
.FOFOUVLBOEBFSBIQFOZFMFTBJBOx + 2y ≤ 6 Titik potong garis 3x + 2y = 6 dengan sumbu-x dan sumbu-y
adalah 0, 3 dan 2, 0. Jadi, titik O0, 0 tidak terletak pada daerah himpunan
penyelesaian. Daerah yang diarsir pada gambar menunjukkan himpunan penyelesaian 3x + 4y ≥ 12.
Soal Terbuka
Pertidaksamaan 2x – 3y 12 memiliki
daerah himpunan penyelesaian seperti pada
gra¿k Cartesius berikut.
x O
6 2x – 3y = 12
–4 Titik O0, 0 merupakan
salah satu anggota daerah himpunan
penyelesaian. Tentukanlah titik-titik lain
yang juga merupakan anggota daerah
himpunan penyelesaian.
Soal Pilihan
Di unduh dari : Bukupaket.com
Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMKMAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan
6
y
x 3x y = 6
0, 3
O O
O O
O 3
3 3
3
BFSBI QFOZFMFTBJBO
3x y ≤ 6
NCJM TFCBSBOH UJUJL EJ MVBS HBSJT x y .JTBM
BNCJM
O 4VCTUJUVTJLBO LF EBMBN QFSUJEBLTBNBBO x y
ń 6OUVL x EBO y
UJUJL UFSTFCVU NFNFOVIJ QFSUJEBL
TBNBBO TFIJOHHB UJUJL O
NFSVQBLBO BOHHPUB IJNQVOBO QFOZFMFTBJBO x y
ń BFSBI QFOZFMFTBJBOOZB EJUVOKVLLBO PMFI HBNCBS EJ
TBNQJOH r
.FOFOUVLBO EBFSBI x ≥ 0 x
1FSUJEBLTBNBBO x Ņ BSUJOZB TFNVB OJMBJ x ZBOH EJNBLTVE CFSOJMBJ QPTJUJG 1FSOZBUBBO JOJ EJHBNCBSLBO PMFI HSBGJL
QBEB HBNCBS CFSJLVU
y
x JMBJ x QPTJUJG
r .FOFOUVLBO EBFSBI y ≥ 0
1FSUJEBLTBNBBO y Ņ BSUJOZB TFNVB OJMBJ y ZBOH EJNBLTVE CFSOJMBJ QPTJUJG 1FSOZBUBBO JOJ EJHBNCBSLBO PMFI HSBàL
QBEB HBNCBS CFSJLVU
y
x JMBJ y
QPTJUJG
BFSBIIJNQVOBOQFOZFMFTBJBOTJTUFNQFSUJEBLTBNBBOxy ≤ 6, x ≥ 0,
x y
Ņ NFSVQBLBO JSJTBO EBSJ EBFSBI IJNQVOBO QFOZFMFTBJBO 3x y ≤ 6, x Ņ
EBO y Ņ ZBOH UFMBI EJKFMBTLBO TFCFMVNOZB
BFSBI JSJTBO ZBOH NFOKBEJ EBFSBI IJNQVOBO QFOZFMFTBJBO TJTUFN QFSUJEBLTBNBBO x y ≤ 6, x Ņ
EBO y Ņ EJUVOKVLLBO
PMFI EBFSBI ZBOH EJBSTJS QBEB HBNCBS CFSJLVU
y
x 3x y = 6
0, 3 BFSBI QFOZFMFTBJBO
TJTUFN QFSUJEBLTBNBBO 3x y ≤ 6, x ≥ 0,
x y ≥ 0
b
FOHBO DBSB ZBOH TBNB
EJQFSPMFI EBFSBI IJNQVOBO QFOZFMFTBJBO TJTUFN QFSUJEBLTBNBBO x
+ x y ≤ 6,
y x + 3
x y ≤ 9,
y x ≥ 0,
x y
Ņ
ZBJUV JSJTBO EBFSBI IJNQVOBO QFOZFMFTBJBO FMFNFOFMFNFO TJTUFN UFSTFCVU
Di unduh dari : Bukupaket.com
7
Program Linear
r BFSBI IJNQVOBO QFOZFMFTBJBO x
+ x y ≤ 6
y
y
x 9
x +
x y = 6
0, 6
3, 0
r BFSBI IJNQVOBO QFOZFMFTBJBO x + 3
x y ≤ 9
y
x 9
9 9
x + 3 x
y = 9 0, 3
9, 0 3
3 3
r BFSBI IJNQVOBO QFOZFMFTBJBO x Ņ EBO y ≥ 0
x ≥ 0 x
y ≥ 0
y
x y
x
BSJ EBFSBI QFOZFMFTBJBO UFSTFCVU
JSJTBOOZB NFSVQBLBO EBFSBI QFOZFMFTBJBO TJTUFN QFSUJEBLTBNBBO x
+ x y ≤ 6,
y x + 3
x y ≤ 9,
y x ≥ 0,
x EBO y Ņ ZBOH EJUVOKVLLBO PMFI HBNCBS CFSJLVU
y
x 9, 0
x +
x y = 6
0, 6
0, 3 3, 0
x + 3 x
y = 9
4FMBOKVUOZB
CBHBJNBOB KJLBOEB EJNJOUB VOUVL NFOFOUV
j a
aj Jela
ela Je
Jeela j
j a
j laj
aj h
a ah
Matematika Ma
M M
M M
Ma Mat
ate teem
mat attiika
ka
Simbol dan untuk lebih besar dari dan
lebih kecil dari telah ada sejak karya Thomas
Harriot yang berjudul Artist Analyticae Praxis
dipublikasikan pada tahun 1631.
Simbol yang diperkenalkan Harriot
merupakan simbol yang paling umum digunakan.
Namun, pada abad ke–18, Oughtered
juga mengembangkan beberapa variasi simbol
pertidaksamaan.
Sumber: www.Drmath.com.
Di unduh dari : Bukupaket.com
Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMKMAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan
8
kan sistem pertidaksamaan linear dari suatu daerah himpunan penyelesaian yang diketahui? Anda dapat melakukan langkah-
langkah seperti pada contoh berikut untuk menentukan sistem pertidaksamaan linear.
Contoh Soal 1.3
Tentukan sistem pertidaksamaan linear untuk daerah himpunan penyelesaian yang ditunjukkan oleh gambar di samping.
Jawab: r
4FNVBEBFSBIZBOHEJBSTJSCFSBEBEJLVBESBO
BSUJOZBOJMBJ x ≥ 0 dan y ≥ 0
r 1FSTBNBBO HBSJT ZBOH NFMBMVJ UJUJL
EBO
BEBMBI
3x + 2y = 6. Ujilah dengan salah satu titik. Ambil titik O0, 0. Substitusikan titik O ke persamaan 3x + 2y = 6 sehingga
diperoleh 3 · 0 + 2 · 06 = 0 6.
Titik 0, 0 tidak terletak di daerah himpunan penyelesaian sehingga daerah himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah
3x + 2y ≥ 6. r
1FSTBNBBO HBSJT ZBOH NFMBMVJ UJUJL
EBO
BEBMBI 2x + 3y = 6. Ujilah dengan salah satu titik. Ambil titik O0, 0.
Substitusikan titik O ke persamaan 2x + 3y = 6 sehingga diperoleh 2 · 0 + 3 · 0 0 6.
Titik 0, 0 terletak di daerah penyelesaian sehingga daerah himpunan penyelesaian yang memenuhi adalah 2x + 3y ≤ 6.
Jadi, sistem pertidaksamaan linear untuk daerah himpunan penye- lesaian graik tersebut adalah
3x + 2y ≥ 6 2x + 3y ≤ 6
x ≥ 0 y ≥ 0
Contoh Soal 1.4
Tentukan sistem pertidaksamaan linear untuk daerah himpunan penyelesaian yang ditunjukkan oleh gambar di samping.
Jawab: r
4FNVBEBFSBIZBOHEJBSTJSCFSBEBEJLVBESBO
BSUJOZBOJMBJ x ≥ 0 dan y ≥ 0.
r 1FSTBNBBO HBSJT ZBOH NFMBMVJ UJUJL
EBO
BEBMBI
3x + 6y = 18. Ujilah dengan salah satu titik. Ambil titik O0, 0, kemudian substitusikan titik O ke persamaan 3x + 6y = 18
sehingga diperoleh 3, 0 + 6, 0 = 0 18. Titik 0, 0 terletak didaerah penyelesain sehingga daerah himpunan penyelesaian
yang memenuhi adalah 3x + 6y ≤ 18.
y
x 3
3 2
2 O
y
x 6
3 6
3 O
Di unduh dari : Bukupaket.com
9
Program Linear
Evaluasi Materi 1.1
Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda. 1. Tentukan daerah himpunan penyelesaian
dari sistem per tidak samaan berikut.
a. x + y ≤ 3