Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMKMAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan
108
Barisan bilangan adalah sekumpulan bilangan yang tersusun menurut pola tertentu. Setiap unsur bilangan dalam
susunan bilangan tersebut disebut suku barisan. Secara umum, barisan bilangan dapat ditulis sebagai berikut.
U
1
, U
2
, U
3
, ..., U
n–1
, U
n
dengan U
1
merupakan suku ke-1 U
2
merupakan suku ke-2 U
3
merupakan suku ke-3 U
n–1
merupakan suku ke-n–1 U
n
merupakan suku ke-n Selisih antara dua suku yang berurutan pada barisan
bilangan dinamakan beda dan dinotasikan dengan b. b = U
2
– U
1
, U
3
– U
2
, U
4
– U
3
, ..., U
n
– U
n – 1
Perbandingan antara dua suku yang berurutan disebut rasio yang biasa dinotasikan dengan r.
r = U
U U
U U
U U
U
n 2
1 3
2 4
3 1
U
n
, ,
, U U
..., Agar lebih memahami pernyataan tersebut, perhatikan barisan
berikut. 1, 5, 9, 13, 17, ...., U
n
Dari barisan tersebut, diketahui bahwa U
1
= 1, U
2
= 5, U
3
= 9, U
4
= 13, U
5
= 17. Anda dapat menentukan bilangan- bilangan berikutnya dengan memperhatikan aturan urutan
suku-suku pada barisan bilangan. Suku-suku barisan tersebut merupakan fungsi dari bilangan asli.
U
n
= fn, n Œ
A Dengan demikian, dapat diketahui bahwa pola tertentu
pada suatu barisan merupakan rumus fungsi yang memetakan n ke U
n
.
Contoh Soal 3.1
Sebuah barisan dideinisikan U
n
= n
2
– 2n – 1, dengan n bilangan asli.
a.
Tuliskan bentuk barisannya.
b. Tentukan nilai suku ke-10. Jawab:
a.
U
1
= 1
2
– 21 – 1 = –2 U
2
= 2
2
– 22 – 1 = –1 U
3
= 3
2
– 23 – 1 = 2 U
4
= 4
2
– 24 – 1 = 7 U
5
= 5
2
– 25 – 1 = 14 Jadi, barisan tersebut adalah –2, –1, 2, 7, 14, ...
Notes
Selisih dua suku pada barisan bilangan
dinamakan beda.
Di unduh dari : Bukupaket.com
109
Barisan dan Deret
b. Suku kesepuluh dapat dicari sebagai berikut.
U
10
= 10
2
– 210 – 1 = 79
Anda dapat menentukan rumus suku ke-n sebuah barisan dengan mengikuti aturan barisan tersebut atau dengan mengamati
pola barisan. Agar Anda lebih memahami pernyataan tersebut, Perhatikan uraian berikut.
r TVLVQFSUBNBOZBBEBMBIU
1
= 2 · 11+1 = 4 r
TVLVLFEVBOZBBEBMBIU
2
= 2 · 22+1 = 12 r
TVLVLFUJHBOZBBEBMBIU
3
= 2 · 33+1 = 24 r
TVLVLFFNQBUOZBBEBMBIU
4
= 2 · 44+1 = 40 r
TVLVLFMJNBOZBBEBMBIU
5
= 2 · 55+1 = 60 Urutan 5 suku pertama barisan tersebut adalah 4, 12, 24, 40, 60.
Dari pola barisan tersebut, coba Anda buat rumus suku ke-n dari bentuk tersebut.
U
n
= 2 ...... + ...
Contoh Soal 3.2
Suatu grup musik dijadwalkan latihan setiap hari Rabu pada bulan Agustus. Jika latihan pertama dilakukan pada tanggal 3, tentukan
jadwal latihan musik pada bulan tersebut.
Jawab: Anda dapat mencari polanya sebagai berikut.
Rabu ke-1 3
Rabu ke-2 3 + 7 = 10
Rabu ke-3 10 + 7 = 17
Rabu ke-4 17 + 7 = 24
Rabu ke-5 24 + 7 = 31
Jadi, jadwal latihan musik pada tanggal adalah 3, 10, 17, 24, 31. Aturan pada barisan tanggal latihan musik tersebut diperoleh dengan
menambahkan 7 hari pada setiap suku. Suku-suku pada barisan tersebut sebagai berikut.
U
1
= 3 U
2
= U
1
+ 7 = 3 + 7 = 10 U
3
= U
2
+ 7 = 10 + 7 = 17 U
4
= U
3
+ 7 = 17 + 7 = 24 U
5
= U
4
+ 7 = 24 + 7 = 31 Jadi, rumus berulang untuk barisan tanggal tersebut adalah
U
n + 1
= U
n
+ 7, untuk n = 1, 2, 3, 4, 5 dan U
1
= 3 atau dapat juga U
n
= 7n – 4, untuk n = 1, 2, 3, 4, 5.
Gambar 3.3
Jadwal latihan band yang teratur dapat dicari pola
bilangannya.
Sumber: www.geocities.com
7 merupakan jumlah hari dalam satu minggu
Di unduh dari : Bukupaket.com
Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMKMAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan
110
3. Deret Bilangan
Deret bilangan merupakan jumlah dari suku-suku pada barisan bilangan. Jika U
1
, U
2
, U
3
, ..., U
n
adalah barisan bilangan maka U
1
+ U
2
+ U
3
+ ... + U
n
adalah sebuah deret bilangan. Sebagai contoh, jika 10, 20, 30, …, 100 adalah barisan bilangan
maka 10 + 20 + 30 + … + 100 merupakan deret bilangan. Deret bilangan dinotasikan oleh S
n
,. Oleh karena S
n
merupakan jumlah n suku barisan bilangan maka Anda dapat menuliskan
S
n
= U
1
+ U
2
+ U
3
+ … + U
n
. Selanjutnya, untuk menentukan nilai S
n
dengan n = 1, 2, 3, …, n. Anda dapat menuliskan S
1
= U
1
jumlah 1 suku pertama S
2
= U
1
+ U
2
jumlah 2 suku pertama S
3
= U
1
+ U
2
+ U
3
jumlah 3 suku pertama S
n
= U
1
+ U
2
+ U
3
+ … + U
n
jumlah n suku pertama Agar Anda lebih memahami uraian tersebut, perhatikan contoh
berikut.
Contoh Soal 3.3
Diketahui barisan bilangan 2, 4, 6, …, 100 a.
Tuliskan deret 3 bilangan pertama b.
Hitunglah jumlahnya
Jawab: a.
Barisan bilangan 2,4,6, … , 100 berarti U
1
= 2, U
2
= 4, U
3
= 6, dan U
n
= 100. Deret 3 bilangan pertama = S
3
= U
1
+ U
2
+ U
3
= 2 + 4 + 6 b.
S
3
= U
1
+ U
2
+ U
3
= 2 + 4 + 6 = 12
Contoh Soal 3.4
Diketahui suatu barisan dengan rumus U
n
= 3n
2
– 4n. Tentukanlah jumlah deret empat suku pertama.
Jawab: U
1
= 31
2
– 41 = –1 U
2
= 32
2
– 42 = 4 U
3
= 33
2
– 43 = 15 U
4
= 34
2
– 44 = 32 +
S
4
= 50 Jadi, jumlah 4 suku pertama adalah 50.
Di unduh dari : Bukupaket.com
111
Barisan dan Deret
1. Tebaklah tiga suku berikutnya dari masing-
masing barisan berikut. a.
0, 3, 6, 9, ..., ..., ...
b. 0, 3, 8, 15, ..., ..., ...
c. 1, 4, 9, 16, ..., ..., ...
d. 2, 9, 16, 23, ..., ..., ...
e. 1, 3, 7, 15, ..., ..., ...
f. 11, 22, 33, 44, ..., ..., ...
g. 60, 57, 54, 51, ..., ..., ...
h. 123, 234, 345, 456, ..., ..., ...
2. Tentukan aturan barisan bilangan berikut.
a.
4, 7, 10, 13, ...
b. 1, 8, 27, 64, ...
c. 1, 4, 16, 64, ...
d. 2, 3, 5, 8, 13, ...
e. 9, 10, 19, 29, 48, ...
3. Tentukan rumus suku ke-n untuk barisan
bilangan berikut. a.
3, 4, 5, 6, ...
b. 0, 3, 6, 9, ...
c. 9, 14, 19, 24, ...
d. 2, 6, 18, 54, ...
e. 400, 200, 100, 50, ...
f. 3, 8, 15, 24, ...
4.
Tentukan jumlah deret bilangan yang rumus suku ke-n nya diketahui.
a.
U
n
= n – 5, untuk 10 bilangan yang pertama
b.
U
n
= 2n + 3, untuk 7 bilangan yang pertama
c. U
n
= nn – 1, untuk 5 bilangan yang pertama
d. U
n
= 32n, untuk 4 bilangan yang pertama
e. U
n
= n
n +
1 2
, untuk 4 bilangan yang pertama
f.
U
n
= nn + 1n +2 , untuk 4 bilangan yang pertama
5. Perhatikan barisan 4, 1, –2, –5, ....
a.
Tentukan pola atau aturan dari barisan tersebut.
b. Tentukan bilangan ke-20.
6.
Perhatikan barisan bangun geometri berikut.
a.
Gambarlah barisan bangun segienam sampai kelompok bangun ke-5.
b.
Ada berapa segienam kongruen pada kelompok bangun ke-4 dan ke-5?
c.
Tuliskan barisan bilangan yang sesuai dengan jumlah segienam kongruen
pada barisan bangun tersebut.
7.
Tuliskan 4 bilangan pertama dari barisan dengan rumus berikut.
a.
U
n
= 1
2 n
+
b. U
n
= 1
2 nn + 2
c. U
n
= 5 ; U
n + 1
= U
n
+ 3
d. U
1
= –2 ; U
n + 1
= U
n
– 4
e. U
n
= 3n – 5
f.
U
1
= –5 ; U
n – 1
= U
n
+ 7
8. Tuliskan 4 bilangan pertama dari barisan
dengan rumus berikut.
a. U
n
= 2n
2
– n – 2
b. U
n
= 3n + 7
c. U
1
= –3 ; U
n + 1
= 3U
n
d. U
1
= 0 ; U
n + 1
= 3U
n
– 4
e.
U
n
= n + 1
3
+ 3
f.
U
5
U = –5 ; U
n – 1
= U
n 2
Evaluasi Materi 3.1
Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda.
Di unduh dari : Bukupaket.com
Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMKMAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan
112
1. Barisan Aritmetika
