119
Barisan dan Deret
Contoh Soal 3.7
Tentukanlah rumus deret aritmetika berikut dan tentukan pula jumlah 10 suku pertamanya.
a.
5 + 10 + 15 + 20 + ...
b. 50 + 40 + 30 + ... Jawab:
a.
5 + 10 + 15 + 20 + ... a = 5
b = 10 – 5 = 5 S
n
=
n 2
[2a + n – 1b] =
n 2
[2·5 + n – 15] =
n 2
[10 + 5n – 5] =
n 2
[5n + 5] S
10
= 10
2 [5·10 + 5]
= 555 = 275
b. 50 + 40 + 30 + ...
a = 50 b = 40 – 50 = –10
S
n
=
n 2
[2a + n – 1b] =
n 2
[2·50 + n – 1–10] =
n 2
[100 + –10n + 10] =
n 2
[110 – 10n] S
10
= 10
2 [110 – 1010] = 510 = 50
Contoh Soal 3.8
Jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika diberikan oleh per- samaan S
n
= 2n
2
+ 3n. Tentukanlah suku ke-n dan beda dari barisan tersebut.
Sebuah deret aritmetika memiliki suku pertama a
dan beda b, jika jumlah n suku yang pertama deret
ini sama dengan n
2
– 3n maka nilai a dan b adalah ....
a.
a = –4 dan b = –2
b. a = –2 dan b = 2
c. a = 4 dan b = 2
d. a = –4 dan b = 4
e. a = –2 dan b = 4
Soal SPMB, 2002
Soal Pilihan
Di unduh dari : Bukupaket.com
Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMKMAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan
120
Jawab: Untuk mendapatkan suku ke-n, gunakan rumus U
n
= S
n
– S
n – 1
. S
n
= 2n
2
+ 3n S
n – 1
= 2n – 1
2
+ 3n – 1 = 2n
2
– n – 1 –
U
n
= 4n + 1 Untuk mendapatkan beda, gunakan rumus b = U
n
– U
n – 1
U
n
= 4n + 1 U
n – 1
= 4n –1 + 1 = 4n – 3 –
b = 4 Jadi, beda untuk deret tersebut adalah 4.
Contoh Soal 3.9
Jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika diberikan oleh per- samaan S
n
= 3n
2
– 4n. Tentukanlah suku ke-10 deret tersebut.
Jawab: Untuk mendapatkan suku ke-n, gunakan rumus U
n
= S
n
– S
n – 1
dengan S
n
= 3n
2
– 4n. U
10
= S
10
– S
9
S
10
= 310
2
– 410 = 260 S
9
= 39
2
– 49 = 207 –
U
10
= 260 – 207 = 53 Jadi, suku ke-10 dari barisan tersebut adalah 53.
Contoh Soal 3.10
Hitunglah jumlah semua bilangan antara 250 dan 1.000 yang habis dibagi 7.
Jawab: Anda harus mencari suku pertama dan suku terakhir dari barisan
tersebut. Suku pertama adalah bilangan yang lebih besar dari 250 dan habis dibagi 7, yaitu 252.
Suku terakhir adalah bilangan yang lebih kecil dari 1.000 dan habis dibagi 7, yaitu 994.
Jadi, barisan aritmetika yang dimaksud adalah 252, 259, ..., 994 dengan a = 252, b = 7. Hitunglah banyaknya suku dari bentuk
berikut. 994 = U
n
= a + n – 1b = 252 + n – 17 = 252 + 7n – 7 = 7n + 245
7n = 994 – 245 = 749 n =
749 7
=107
Iuran bulanan warga setiap tahun selalu
naik Rp5.000,00 dari tahun sebelumnya. Jika
iuran warga pada tahun pertama Rp10.000,00
per bulan maka jumlah total iuran warga tersebut
setelah 8 tahun adalah .... a. Rp180.000,00
b. Rp1.100.000,00 c. Rp1.800.000,00
d. Rp2.640.000,00 e. Rp3.200.000,00
Jawab: a = 10.000
b = 5.000 S
n
n
= a
b n
2 a
+ a
n -
Jumlah total iuran warga setelah 8 tahun adalah
12 bulan × S
8
= 12 × 8
2 2
10 000 .000
+ Ê
ËÁ ÊÊ
ËË 7
7 5 000
. 5
ˆ ¯˜
ˆˆ ¯¯
= 12 × 420.000 + 35.000 = 12 × 455.000
= 12 × 220.000 = 2.640.000
Jawaban: d
UN SMK, 2006
Solusi Cerdas
Di unduh dari : Bukupaket.com
121
Barisan dan Deret
Oleh karena itu, jumlah semua suku S
n
= n
2 U
1
+ U
n
adalah S
107
= 1
2 ·107·252 + 994
= 66.661
1. Manakah dari barisan-barisan berikut yang
merupakan barisan aritmetika? a.
4, –1, –6, –11, ...
b. 3, –3, 3, –3, ...
c. a, a + k
2
, a + 2k
2
, a + 3k
3
, ...
2. Manakah dari barisan-barisan berikut yang
merupakan barisan aritmetika, jika diketahui rumus umumnya sebagai berikut.
a.
U
n
= 2 + 3n c.
U
n
= n6 – n
b. U
n
= 4 + n
2
3. Tentukan rumus suku ke-n untuk masing-
masing barisan aritmetika berikut. a.
–17, –13, –9, ...
b.
8, 11, 14, ...
c.
10, 7, 4, ...
d. 3, 3 –
1 4
, 3 – 1
2 , ...
e.
–5, –3, –1, 1, ...
4.
Jika suku ke-6 dari barisan aritmetika sama dengan 27 dan suku ke-12 adalah 48.
Carilah suku ke-10.
5.
Seorang pemandu wisata menerima gaji sebesar Rp1.000.000,00 per bulan. Setiap
6 bulan ia akan menerima kenaikan gaji sebesar Rp75.000,00. Tentukan gajinya
setelah 5 tahun bekerja.
6.
Hitunglah jumlah bilangan berikut. a.
3 + 6 + 9 + 12 + ... + 42
b.
–12 + –7 + –2 + ... + 78
c.
–2 + 5 + 12 + ... + 145
7. Tentukanlah jumlah deret aritmetika berikut.
a.
4 + 9 + 14 + ... sampai 10 suku
b. 6 + 4 + 2 + ...
sampai 20 suku
c.
1 2
+ 2
5 +
3 10
+ ... sampai 15 suku
8. Tentukan unsur-unsur yang ditanyakan pada
barisan aritmetika berikut.
a.
a = 5 dan b = 3 U
29
U U = ... dan S
10
= ...
b. b = 17 dan U
21
U U = 336
a = ... dan S
8
= ...
c. a = 21 dan b = –8
U
n
= –99 dan n = ... ; S
n
= ...
d.
a = 2, b = 9, dan n = 15 U
n
= ... dan S
n
= ...
e. a = 4, U
n
= –22 dan S
n
= –99 b = ...
9. Jika rumus jumlah suku ke-n suatu deret
aritmetika S
n
= n
a a + U
n
a.
Apakah U
1
= S
1
= a?
b. Buktikan bahwa
U S
n a
n n
=
- 2
.
c.
Jika diketahui rumus jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika
S
n
= 2n
2
+ n, tentukan a, U
n
, dan bedanya.
d. Jika S
n
n
= 5
5 n
+ 2
2
, dapatkah Anda menentukan langsung bedanya b?
10. Di sebuah restoran, setiap 5 menit sekali
datang dua orang pengunjung yang akan makan di restoran tersebut. Tentukan jumlah
pengunjung restoran setelah 1 jam, dengan catatan tidak ada pengunjung restoran yang
meninggalkan restoran.
Evaluasi Materi 3.2
Kerjakanlah soal-soal berikut di buku latihan Anda.
Di unduh dari : Bukupaket.com
Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMKMAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan
122
1. Barisan Geometri
