37
Trigonometri
Pada materi bab ini, Anda akan mempelajari perbandingan trigonometri dari suatu sudut segitiga siku-siku sehingga Anda
akan mengenal istilah sinus, cosinus, tangen, secan, cosecan, dan cotangen. Untuk memudahkan Anda mempelajari materi
ini, coba ingat kembali dalil Pythagoras berikut kuadrat dari sisi terpanjang hipotenusa sama dengan jumlah kuadrat sisi
lainnya.
1. Perbandingan Trigonometri dalam Segitiga Siku-siku
Sebelum mempelajari materi ini, lakukanlah kegiatan berikut.
A Perbandingan Trigonometri
Kegiatan Siswa
Lakukan kegiatan berikut bersama 3–4 orang teman Anda. 1.
Gambarlah tiga buah segitiga siku-siku yang sebangun dengan ketentuan sebagai berikut.
r ,FUJHB TVEVUOZB TBNB CFTBS CFTBS TVEVU ZBOH OEB
UFOUVLBO CFSCFEB EFOHBO UFNBO OEB r
6LVSBO LFUJHB TJTJOZB CFSCFEB CFEB UJEBL BEB ZBOH TBNB QBOKBOH
.JTBMLBO
TFHJUJHB ZBOH OEB CVBU TFQFSUJ CFSJLVU
i ii
iii
A a
A sisi di dekat A
si si
di d
epan A
sisi miring a
a A
2. Gunakan busur derajat untuk menghitung besar sudut A ke
derajat terdekat. Perlu Anda ingat bahwa besar sudut A lebih dari 0
°
dan kurang dari 90
°
.
3. Gunakan penggaris untuk mengukur panjang masing-
masing segitiga siku-siku tersebut, kemudian isikanlah pada tabel berikut.
Kata Kunci
• segitiga siku-siku
• sinus
• cosinus
• tangen
Di unduh dari : Bukupaket.com
Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMKMAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan
38
Segitiga ke-
Panjang sisi di depan A Panjang sisi miring
i ii
iii
Panjang sisi di dekat A Panjang sisi miring
Panjang sisi di depan A Panjang sisi di dekat A
4. Perhatikan nilai-nilai perbandingan yang Anda peroleh
pada ketiga segitiga siku-siku tersebut. Apa yang Anda dapatkan dari hasil tersebut?
5.
Sekarang, coba Anda perhatikan gambar ΔABC berikut.
A B
C
b
a. Dengan menggunakan busur dan penggaris, hitunglah:
r FTBSTVEVU
b gunakan satuan ke derajat terdekat
r 1BOKBOHTJTJAB, BC, dan AC
gunakan satuan ke cm terdekat
b. Tentukan nilai perbandingan
r panj
aa ang sisi di depan panj
aa ang sisi mirin rr g
b =
... ..
... r
panj aa ang sisi di dekat
panj aa ang sisi mirin
rr g b
= ...
.. ...
r panj
aa ang sisi di depan panj
aa ang sisi di deka b
tt aaaa
b =
... ...
6. Apakah nilai perbandingan untuk ΔABC sama dengan nilai
perbandingan untuk ketiga segitiga sebelumnya? Jika tidak sama, perubahan apakah dari ketiga segitiga sebangun yang
membuat nilai perbandingan segitiga baru berbeda?
Jelajah
Matematika
Pythagoras lahir sekitar tahun 582 M di Pulau
Samos, Yunani. Beliau menemukan dan
membuktikan sebuah rumus sederhana dalam
geometri tentang ketiga sisi pada segitiga siku-
siku. Dalil ini dinamakan Dalil Pythagoras.
Pythagoras meninggal sekitar tahun 497 SM
pada usia 85 tahun.
Sumber: Oxford Ensiklopedi
Pelajar, 1999
Di unduh dari : Bukupaket.com
39
Trigonometri
Hasil kegiatan yang telah Anda kerjakan dapat memperjelas bahwa hasil perbandingan sisi-sisi segitiga bergantung pada sudut
a
dan
b
. Jika sudutnya
a
sama maka hasil perbandingan sisi- sisinya akan sama.
Perhatikan gambar berikut.
A B
C D
E
Gambar 2.1
ABC sebangun dengan AED a
ΔABC ΔAED dibaca segitiga ABC sebangun dengan segitiga AED.
Perbandingan sisi-sisi segitiga secara cepat dapat diketahui dengan menggunakan konsep trigonometri yang dideinsikan
sebagai berikut. 1.
BC AC
ED AD
= =
sinus a
a =
i 2.
AB AC
AE AD
= =
cosinus a
a =
3. BC
AB ED
AE =
= tange
aa n
a a
= t
4. AC
BC AD
ED =
= cosecant
c a
a c
= osec
5. AC
AB AD
AE =
= secant
a a
= 6.
AB BC
AE ED
= =
cotange aa
nt t
a a
= cotan
aa Berdasarkan penjelasan tersebut, dapat dibuat ringkasan-
nya sebagai berikut. Perbandingan trigonometri untuk segitiga siku-siku ABC
seperti pada Gambar 2.2 adalah: 1.
sin a =
a b
4. cosec
a = b
a 2.
cos a =
c b
5. sec
a = b
c 3.
tan aa
a = a
c 6.
cotan aa
a = c
a
Gambar 2.2
Segitiga siku-siku dengan a
sebagai salah satu sudutnya
C
B a
b
A c
a
Di unduh dari : Bukupaket.com
Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMKMAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan
40
Dari ringkasan tersebut, Anda dapat memperoleh hubungan- hubungan berikut.
1. sin
cos tan
aa a
a a
= =
= = a
b c
b a
b b
c a
c
Jadi, tan
aa sin
cos a
a a
=
2. sin
a a = ¥
= ¥
a b
b a
1 Jadi,
sin a
a =
1 cosec
atau cosec
a a
= 1
sin 3.
cos a
a sec
= ¥ =
¥ c
b b
c 1
Jadi, cos
sec a
a =
1 atau
sec cos
a a
= 1
4. tan
aa a
a = ¥ =
¥ t
a c
c a
1 Jadi,
tan aa
a a
= 1
cotan aa
atau cotan
aa a
a =
1 tan
aa
Tugas Siswa 2.1
Coba Anda buktikan kebenaran pernyataan berikut. cos
sin a
a a
a a
= =
cosec sec
cotan
Contoh Soal 2.1
Jika sin
b = 4
5 , tentukanlah nilai perbandingan trigonometri lainnya.
Jawab:
Buatlah gambar yang mewakili sin
b = 4
5 .
Jelajah
Matematika
Teorema perbandingan sisi-sisi pada segitiga
telah digunakan bangsa Mesir dan
Babilonia. Akan tetapi, perbandingan yang
sekarang digunakan kali pertama ditetapkan
sekitar tahun 150 SM oleh Hipparchus yang
menyusun perbandingan- perbandingan itu di
dalam tabel. Hipparchus dari Nicea sangat tertarik
pada Astronomi dan Geogra
fi. Hasil kerjanya merupakan asal mula
rumusan trigonometri. Hipparchus menerapkan
trigonometri untuk menentukan letak kota-
kota di permukaan bumi dengan menggunakan
garis bujur dan garis lintang.
Sumber: Ensiklopedia
Matematika dan Peradaan Manusia, 2002
Hipparchus ±170–125 M
Di unduh dari : Bukupaket.com
41
Trigonometri
Tentukan sisi yang belum diketahui dengan rumus Pythagoras. x
2
= 5
2
– 4
2
x
2
= 25 – 16 = 9 x =
9 = 3
Dengan demikian, dapat ditentukan nilai perbandingan trigonometri lainnya.
cos
b
=
3 5
sec
b
=
5 3
tan
b
=
4 3
cotan
b
=
3 4
cosec
b
=
5 4
Contoh Soal 2.2
Diketahui ΔABC dan ΔDEF seperti pada gambar berikut.
2 2
2 D
a E
b F
c
B A
C a
b a
q
Tentukanlah semua perbandingan trigonometri untuk sudut q
.
Jawab: a.
sin q =
= 2
2 1
2 2
b.
sin a =
a b
cos q =
= 2
2 1
2 2
cos a =
c b
tan aa
q = =
2 2
1 tan
aa a =
a c
cosec q =
= 2
2 2
cosec a =
b a
sec q =
= 2
2 2
sec a =
b c
cotan aa
q = =
2 2
1 cotan
aa a =
c a
5 4
x = 3 b
Di unduh dari : Bukupaket.com
Kreatif Menggunakan Matematika untuk Kelas XI SMKMAK Rumpun Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan
42 Contoh Soal 2.3
Diketahui salah satu sudut segitiga siku-siku ABC adalah q
. Jika diketahui sin
q =
3 5
dan panjang sisi di seberang q
adalah 6 cm. Hitunglah cos
q , tan
q , cosec
q , sec
q , dan cotan
q .
Jawab:
Diketahui sin q
= 3
5 dan panjang sisi seberang
q = BC = 6 cm.
Sebelum menghitung cos q
, tan q
, cosec q
, sec q
, dan cotan q
, Anda harus mencari panjang sisi AB dan AC terlebih dahulu. Dari nilai
sin q
= 3
5 , Anda dapat menemukan nilai AC.
sin q
= CB
AC 3
5 =
6 AC
AC = 6 5
3 = 10 cm
Oleh karena Anda telah mengetahui nilai AC dan BC, Anda dapat mencari nilai AB dengan rumus Pythagoras.
AB
2
= AC
2
– BC
2
AB
2
= 10
2
– 6
2
= 100 – 36 AB
2
= 64 AB =
64 = 8 cm
Jadi, perbandingan trigonometrinya adalah cos
q = =
8 10
4 5
tan aa
q = = 6
8 3
4 cosec
q = =
10 6
5 3
sec q =
= 10
8 5
4 cotan
aa q = =
8 6
4 3
B C
A AC
= ...
AB = ... 6 cm
q
Di unduh dari : Bukupaket.com
43
Trigonometri
Tugas Siswa 2.2
1. Tentukan perbandingan trigonometri sesuai dengan gambar
