Limit tak hingga infinite limits

Kegiatan Pembelajaran KB Bagian Kalkulus 16 Tabel 4 ∞ ← ‐ ‐ ‐ → ∞ ← , , , , , , , , → Dengan memperhatikan tabel maka dapat ditarik kesimpulan bahwa → untuk → ∞. Apabila dimaknai lebih lanjut, pernyataan menuju tak hingga → ∞ mengandung arti bahwa untuk setiap bilangan positip selalu ada nilai sehingga . Demikian pula untuk menuju negatif tak hingga → ∞ mengandung arti bahwa untuk setiap bilangan negatif selalu ada nilai sehingga . Berdasarkan pemaknaan ini maka disusun definisi formal untuk limit di tak hingga sebagai berikut. Definisi di atas dapat diilustrasikan seperti gambar berikut. Gambar 8 Limit di tak hingga Misalka suatu bila ga real aka ya g di aksud de ga lim → adalah u tuk setiap terdapat sehi gga jika berlaku | | . De ikia pula u tuk lim → arti ya setiap terdapat sehi gga jika berlaku | | Modul Matematika SMA 17 Terlihat bahwa untuk setiap terdapat sehingga untuk maka grafik berada diantara garis horisontal dan . Contoh . a. Tentukan hasil dari lim → Jawab: Fungsi dapat digambarkan sebagai berikut. Gambar 9 Ketidakadaan limit Bila dicermati maka tampak bahwa menuju untuk menuju tak hingga. Jadi dapat disimpulkan bahwa lim → . Bukti bahwa lim → untuk kegiatan aktifitas. b. Dengan menggunakan sifat limit, tentukan lim → Jawab: lim → lim → lim → Kegiatan Pembelajaran KB Bagian Kalkulus 18 lim → lim → lim → lim → lim → lim → c. Tentukan lim → Jawab: Karena soal tersebut termasuk dalam bentuk maka pembilang dan penyebut dibagi atau selengkapnya lihat bagian cara menyelesaikan limit . Untuk pengerjaan di bawah, pembilang dan penyebit dibagi oleh . lim → lim → lim → lim → lim → lim → lim → lim → lim → lim → ∞ Modul Matematika SMA 19

5. Strategi Sederhana dalam Menyelesaikan Limit

Strategi sederhana yang dimaksud disini adalah cara menyelesaikan persoalan limit dengan memanfaatkan teorema dan penjelasan‐penjelasan pada bagian sebelumnya.

a. Limit fungsi

untuk menuju nilai tertentu → , ∈ 1 Substitusi langsung pada fungsinya. Misalkan ingin ditentukan hasil lim → . Jika tidak menemui hasil janggal dalam arti tidak terdefinisi tidak tentu tak hingga, maka umumnya nilai limitnya adalah . Cara ini sejatinya sekedar memanfaatkan kekontinyuan fungsi di titik . Namun cara ini perlu pencermatan lebih lanjut, karena bila fungsinya tidak kontinyu maka cara ini tidak bisa digunakan. Jadi perlu kehati‐ hatian, walaupun ada tetapi belum tentu berlaku lim → Contoh . : a. lim → b. lim → Bedakan dengan contoh berikut c. lim → ? Tidak boleh dilanjutkan dengan cara tersebut karena memuat bentuk tak tentu . d. Diberikan fungsi , , . Tentukan lim → Kegiatan Pembelajaran KB Bagian Kalkulus 20 Jelas bahwa , tetapi lim → . Jadi tidak berlaku lim → walaupun ada yaitu . 2 Pada bentuk rasional umumnya dapat disederhanakan. Cara ini sesungguhnya sekedar mengubah bentuk rasional menjadi bentuk lain sehingga mempunyai faktor yang sama di pembilang dan penyebut. Faktor yang sama ini selanjutnya dapat digunakan untuk merasionalkan penyebut. Faktor yang sama ini dapat pula hasil dari memfaktorkan pembilang Contoh . : lim → lim → lim → : 3 Substitusi memuat bentuk dengan . Jika dengan substitusi memuat bentuk dengan , umumnya Namun demikian, ada beberapa kasus walaupun memuat bentuk dengan tetapi limitnya ada. Cara seperti ini sebenarnya hanya memanfaatkan kebiasaan orang menghindari bentuk . Contoh . : a . Tentukan lim → Jawab: Bila disubstitusikan ke dalam fungsi maka diperoleh yaitu memuat bentuk dengan . Oleh karena itu lim → tidak ada. Sebagai gambaran untuk memperjelas grafik dari fungsi tersebut adalah