Kegiatan Pembelajaran KB Bagian Kalkulus
34
Gambar 11 Gradien
Gardien garis
∆ ∆
∆ ∆
. Untuk ∆ → dapat diilustrasikan seperti gambar berikut
Gambar 12 Pemahaman gradien garis singgung
Dengan demikian gradien garis singgung kurva di titik , namakan dapat
dipahami sebagai formula lim
∆ →
∆ ∆
jika nilai limitnya ada. Misalkan fokus kita tidak pada pada satu titik, tetapi pada titik sembarang di domainnya maka formula di atas dapat dinyatakan sebagai suatu
fungsi yang dilambangkan dengan ′ dimana
′ lim
→
jika limitnya ada. Bentuk terakhir inilah yang dinamakan turunan dari fungsi pada domainnya. Mengingat penjelasan sebelumnya maka turunan fungsi ini dapat
Modul Matematika SMA
35
dikatakan sebagai fungsi gradien garis singgung kurva . Berkaitan dengan notasi ini, ada sebagian literatur yang menyajikan
sebagai ′ atau
′ Contoh . :
Tentukan turunan dari Jawab:
lim
→
lim
→
lim
→
lim
→
lim
→
2. Sifat‐sifat dan Teorema Turunan
Perlu menjadi perhatian bahwa ketika ingin menentukan turunan suatu fungsi, kita tidak harus kembali pada definisinya, tetapi memanfaatkan teorema atau sifat‐sifat
pada turunan. Berikut ini beberapa sifat dan teorema terkait turunan serta beberapa hasil turunan yang sering digunakan. Bukti untuk sifat di atas tidak disajikan dalam
tulisan ini, tetapi pembaca dapat memperolehnya di buku referensi [ ] pada daftar pustaka.
′ .
. ′
ln| | ′ ln
sin cos
Kegiatan Pembelajaran KB Bagian Kalkulus
36
cos ′ sin
tan sec
Contoh . Tentukan turunan dari
Jawab: Dengan memanfaatkan sifat turunan diperoleh
sin sin
cos sin
Contoh . Tentukan gardien garis singgung kurva
log di titik ,
Jawab: Untuk menentukan gradien garis singgung di suatu titik, dapat dilakukan melalui
definisi menggunakan limit atau dengan cara menentukan fungsi turunannya terlebih dahulu. Misalnya kita mengambil cara menentukan fungsi turunannya
terlebih dahulu
log ln
ln ln
ln Berarti
. Jadi gradien garis singgung di titik
, adalah
3. Integral Tak Tentu Indefinite Integral
Sebelum pembicaraan lanjut, marilah kita bahas mulai dari istilahnya. Mengapa ada kata tak tentu? Misalkan kita ingin mencari fungsi yang mempunyai turunan
. Mungkin saja kita langsung menentukan karena
. Tetapi jika diperhatikan lagi, masih banyak fungsi yang turunannya
. Contoh ,
mempunyai hasil turunan dan
. Kita masih dapat menentukan banyak lagi fungsi lain yang turunannya
. Pengerjaan seperti ini dinamakan menemukan suatu antiturunan dari suatu fungsi.
Proses menentukan fungsi sedemikaian hingga
dinamakan proses antiturunan atau pengintegralan tak tentu. Secara definisi dituliskan sebagai berikut.
