Kegiatan Pembelajaran KB Bagian Kalkulus
38
4. Strategi sederhana dalam menentukan hasil integral tak tentu
Sedapat mungkin disederhanakan jika bisa dilakukan Contoh . :
a.
b. ∙
∙
Jika ada faktor yang bentuk aljabarnya relatif sederhana, hindari untuk pemisalan Contoh . :
Tentukan √
Perhatikan bahwa bentuk aljabar lebih mudah dari bentuk aljabar .
Oleh karena itu hindari pemisalan . Gunakan pemisalan
. ↔
. Jadi √
√
Untuk fungsi rasional, jadikan sebagai penjumlahan dengan penyebut faktor‐ faktornya
Contoh . : Tentukan
Perhatikan bahwa
Modul Matematika SMA
39
Dari sini diperoleh ,
. Sehingga
ln ln
Untuk kasus campuran yang merupakan perkalian dua fungsi dimana salah satu fungsi bisa diturunkan terus sampai menghasilkan dan fungsi yang lain selalu
dapat ditentukan integralnya maka pengerjaannya dapat dilihat seperti pada contoh.
Contoh . : a. Misalnya akan ditentukan hasil dari
cos .
Pengerjaan sebagai berikut:
Kegiatan Pembelajaran KB Bagian Kalkulus
40
Jadi diperoleh, cos
∙ sin ∙ cos
∙ sin ∙ cos
sin cos
sin cos
b. Tentukan hasil Cara :
Pengerjaan sebagai berikut:
Jadi diperoleh, .
. .
Cara :
Selain strategi sederhana dalam menentukan integral, perlu diingat juga beberapa sifat‐sifat dan rumus integral tak tentu seperti tertuang pada lamiran
5. Integral Tertentu Definite Integral
Untuk mempermudah pemahaman kita mulai dari suatu fungsi yang kontinyu
pada interval . Selanjutnya kita bagi interval , dalam subinterval
dengan panjang sama yaitu ∆ . Kemudian misalkan
, , … , batas‐batas pada subinterval. Pilih titik‐titik
∗
,
∗
, … ,
∗
pada subinterval sehingga
∗
berada pada subinterval ,
, maka integral tertentu dari sampai
adalah lim
→ ∗
∆
Modul Matematika SMA
41
jika limit tersebut ada. Simbol dinamakan simbol integral. Suatu hal yang perlu
ditegaskan disini bahwa simbol berbeda makna dengan simbol
pada antiturunan. Apa perbedaannya? Lihat di aktifitas.
Contoh . : Perhatikan luasan berikut beserta partisinya.
Gambar 13 Cara mempartisi
Selanjutnya, pada interval , kita buat menjadi subinterval dengan panjang sama yaitu ∆
dengan batas‐batas interval , , … ,
.
Gambar 14 Contoh partisi
Kemudian kita pilih
∗
yang berada pada subinterval ,
sebagai
∗
supaya lebih mudah . Dengan mengacu pada pendefinisian integral tertentu maka diperoleh
lim
→ ∗
∆
1 2
1
jumlah partisi diperbanyak
1 2
1
∆ ∆
∆