Sudut Berelasi Uraian Materi

Kegiatan Pembelajaran KB Bagian Trigonometri 76 ° ° ° ° Dari hasil diatas, dapat disimpulkan relasi antara sudut dengan sudut ° , yaitu : ° ° ° ° ° °  Sudut berelasi di kuadran Relasi sudut‐sudut dalam kuadran meliputi relasi antara sudut dengan ° atau dengan ° , dengan °.  Relasi sudut dengan ° . Perhatikan gambar berikut x y O Aa,b a b 180 + -a A’-a,-b -b Gambar 13 Sudut berelasi di kuadran Diketahui titik , , dengan panjang , dan sudut . Titik , diputar berlawanan arah jarum jam sejauh °, diperoleh i. Bayangan titik ∶ , . ii. iii. Panjang . Modul Matematika SMA 77 Selanjutnya berdasarkan gambar, diperoleh perbandingan trigonemetri sudut dan ° . Tabel 5 Untuk , dan sudut Untuk , dan sudut ° ° ° ° ° sec ° ° ° ° ° ° ° ° Dari hasil diatas, dapat disimpulkan relasi antara sudut dengan sudut ° , yaitu : ° ° ° ° ° sec °  Relasi sudut dengan sudut ° . Perhatikan gambar berikut Kegiatan Pembelajaran KB Bagian Trigonometri 78 x y O Aa,b A’b,a a b a b y=x A”-b,-a -b -a 270 - Gambar 14 Relasi sudut dengan sudut ° Diketahui titik , , dengan panjang , dan . Titik , dicerminkan terhadap garis , kemudian dilanjutkan dengan rotasi sejauh °, diperoleh i. Bayangan akhir titik ∶ , ii. ∠ ° iii. Panjang . Selanjutnya berdasarkan gambar, diperoleh perbandingan trigonemetri sudut dan sudut ° . Tabel 6 Untuk , dan sudut Untuk , dan sudut ° ° ° ° ° ° ° Modul Matematika SMA 79 ° ° ° ° ° ° Dari hasil diatas, dapat disimpulkan relasi antara sudut dengan sudut ° , yaitu ° ° sin ° ° ° ° Diperhatikan bahwa, untuk sudut yang berelasi dengan ° , berubah menjadi , berubah menjadi , berubah menjadi , berubah menjadi , berubah menjadi , dan berubah menjadi . Selanjutnya karena ° berada di kuadran , maka dan bernilai positif, sedangkan yang lainnya bernilai negatif.  Sudut berelasi di kuadran V Relasi sudut‐sudut dalam kuadran V meliputi relasi antara sudut dengan ° , dengan ° , atau dengan dengan °.  Relasi sudut dengan ° . Perhatikan gambar berikut Kegiatan Pembelajaran KB Bagian Trigonometri 80 x y O Aa,b a b b A’b,-a -a 270 + Gambar 15 Sudut berelasi di kuadran V Diketahui titik , , dengan panjang , dan ∠ . Titik , diputar berlawanan arah jarum jam sejauh °, diperoleh i. Bayangan titik ∶ , ii. ∠ ° iii. Panjang . Selanjutnya berdasarkan gambar, diperoleh perbandingan trigonemetri sudut dan ° . Tabel 7 Untuk , dan sudut Untuk , dan sudut ° ° ° ° ° ° ° ° ° Modul Matematika SMA 81 ° ° ° ° Dari hasil diatas, dapat disimpulkan relasi antara sudut dengan sudut ° , yaitu : ° cos ° ° ° ° ° Diperhatikan bahwa, untuk sudut yang berelasi dengan ° , berubah menjadi , berubah menjadi , berubah menjadi , berubah menjadi , berubah menjadi , dan berubah menjadi . Selanjutnya karena ° berada di kuadran V, maka dan bernilai positif, sedangkan yang lainnya bernilai negatif.  Relasi sudut dengan sudut ° . Perhatikan gambar berikut Kegiatan Pembelajaran KB Bagian Trigonometri 82 x y O Aa,b a b A’a,-b -b 360 - Gambar 16 Relasi sudut dengan sudut ° Diketahui titik , , dengan panjang , dan sudut . Titik , dicerminkan terhadap sumbu , diperoleh : i. Bayangan titik ∶ , ii. ∠ ° iii. Panjang . Selanjutnya berdasarkan gambar, diperoleh perbandingan trigonemetri sudut dan ° . Tabel 8 Untuk , dan sudut Untuk , dan sudut ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° Modul Matematika SMA 83 Dari hasil diatas, dapat disimpulkan relasi antara sudut dengan sudut ° , yaitu ° ° ° ° ° °  Relasi sudut dengan sudut . Perhatikan gambar berikut x y O Aa,b a b A’a,-b -b - Gambar 17 Relasi sudut dengan sudut Diketahui titik , , dengan panjang , dan . Titik , dicerminkan terhadap sumbu , diperoleh : i. Bayangan titik ∶ , ii. ∠ iii. Panjang . Selanjutnya berdasarkan gambar, diperoleh perbandingan trigonemetri sudut dan . Kegiatan Pembelajaran KB Bagian Trigonometri 84 Tabel 9 Untuk , dan sudut Untuk , dan sudut ° cos ° ° ° ° ° Dari hasil diatas, dapat disimpulkan relasi antara sudut dengan sudut , yaitu :  Sudut yang lebih besar dari ° Perbandingan trigonometri untuk sudut °, dapat dilakukan dengan cara mengubah menjadi ∙ ° , dengan k adalah bilangan asli. Nilai perbandingan trigonometri dari sudut yang lebih dari ° mengikuti aturan berikut ∙ ° ∙ ° ∙ ° Modul Matematika SMA 85 ∙ ° ∙ ° csc ∙ ° Tentukan nilai dari : a. ° b. ° Jawab : a. Untuk menentukan nilai dari ° dapat dilakukan dengan beberapa cara i. Cara . ° ° ° ° √ ii. Cara . ° ° ° ° √ b. Untuk menentukan nilai dari ° dapat dilakukan dengan beberapa cara i. Cara . ° ° ° ° ii. Cara . ° ° ° °

4. Invers fungsi trigonometri

Sebelumnya diingat kembali bahwa setiap fungsi pasti memiliki invers, namun tidak semua invers tersebut merupakan fungsi. anya fungsi yang Kegiatan Pembelajaran KB Bagian Trigonometri 86 berkorespondensi satu – satu bijektif sajalah yang inversnya merupakan fungsi. Diberikan sebuah fungsi : A → B. Fungsi invers dari fungsi dituliskan adalah fungsi yang memenuhi, jika , maka , untuk setiap ∈ dan ∈ . Pernyataan tersebut ekuivalen dengan disebut fungsi invers dari fungsi jika dan hanya jika dan , untuk setiap ∈ , dan untuk setiap ∈ . Setiap fungsi trigonometri memiliki inversnya, namun tidak semua inversnya merupakan fungsi, mengingat bahwa fungsi trigonometri bersifat periodik. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut. Diberikan fungsi . Jelas bahwa ° , dan ° , diperoleh bahwa ° atau °. Dalam hal ini, invers dari bukan merupakan fungsi. Namun jika domain dari dibatasi maka invers fungsi tersebut bisa menjadi fungsi. Misalkan fungsi sin dengan domain o ≤ ≤ o . nvers dari fungsi sin merupakan fungsi. Selanjutnya didefinisikan fungsi invers dari fungsi trigonometri sebagai berikut : Tabel 10 Fungsi Invers dari Domain Range sin sin , °, ° cos cos , °, ° tan tan ∞, ∞ °, ° Catatan: tidak sama dengan . Bentuk bisa ditulis dengan arcsin . Demikian juga untuk yang lainnya, ditulis dengan dan, tan ditulis dengan . Lebih lanjut penulisan pangkat , diganti dengan didepan fungsi trigonometri. Selanjutnya, misalkan , maka , sehingga diperoleh Modul Matematika SMA 87 Akibatnya atau Analog dengan cara yang sama diperoleh dan Contoh soal Tentukan sudut pada gambar berikut. 3 4 Gambar 18 Segitiga Siku ‐ siku Jawab : Dengan rumus perbandingan trigonometri tangen diperoleh , atau diperoleh , , ° Catatan : Untuk menentukan nilai arctan dan lainnya bisa menggunakan tabel trigonometri atau menggunakan kalkulator. Kegiatan Pembelajaran KB Bagian Trigonometri 88

D. Aktivitas Pembelajaran

Untuk lebih memantapkan pemahaman peserta diklat atau pembaca tentang invers fungsi trigonometri, isilah titik – titik di bawah ini untuk menyederhanakan bentuk berikut ini. Untuk menyelesaikan permasalahan diatas dapat dilakukan dengan tahapaan berikut. i. Dimisalkan , maka … … ii. Selanjutnya dari … … diperoleh gambar y ... ... iii. Langkah selanjutnya adalah dengan mencari nilai . Dengan dalil Pythagoras diperoleh: … . . … . . … .. … .. √… . ⋯ √… iv. Selanjutnya dari gambar tersebut, dengan rumus perbandingan sudut diperoleh … … √… Jadi, √ Modul Matematika SMA 89

E. Latihan

. Diketahui adalah sudut lancip memenuhi , tentukan nilai dari , , dan . . Dua buah theodolite diposisikan pada titik A dan B untuk mengukur tinggi sebuah bukit, sepeti tampak pada gambar berikut : Diketahui jarak dari A ke B adalah km. Berapakah tinggi bukit tersebut ? . Tentukan nilai‐nilai dari ° , °, °, °, dan °. . Tentukan nilai dari ° ∙ ° ∙ ° ° ∙ ° ∙ ° . Jika °, buktikan bahwa . Dalam segitiga sebarang, buktikan bahwa . Buktikan bahwa untuk berlaku . Buktikan bahwa ° . Tentukan nilai dari . Sederhanakan bentuk Puncak bukit A B 33 20 t 5 km Kegiatan Pembelajaran KB Bagian Trigonometri 90

F. Rangkuman

. Fungsi Trigonometri Perhatikan gambar segitiga siku – siku berikut. Didefinisikan . Sudut stimewa 0° 30° 45° 60° 90° 1 2 1 2 √ 2 1 2 √ 3 1 1 1 2 √ 3 1 2 √ 2 1 2 1 3 √ 3 1 √3 Tak terdefinisi Tak terdefinisi √3 1 1 3 √ 3 1 2 3 √ 3 √2 2 Tak terdefinisi Tak terdefinisi 2 √2 2 3 √ 3 1 ϴ x y r