Latar Belakang Tujuan Modul G Matematika SMA Guru Pembelajar
Kegiatan Pembelajaran KB Bagian Kalkulus
6
Cara seperti ini tidaklah salah, karena sejatinya secara formal limit harus disajikan dalam ‐ seperti pengertian di atas. Namun apakah siswa atau mungkin kita guru
bisa paham dengan maksud kalimat tersebut? Tentunya ada sebagian paham dan sebagian lain tidak mengerti maksud definisi tersebut. Untuk memudahkan
pemahaman kita mulai dari contoh. Misalkan diberikan
.
Gambar 1 Pengamatan fungsi
Kemudian amati nilai pada sumbu‐ bila mendekati pada sumbu‐ . Pada saat
mendekati perhatikan bahwa mendekati suatu nilai tertentu. Perlu
ditekankan disini bahwa pada waktu mendekati maka fokus perhatian kita adalah nilai pada ordinat sumbu‐ , jadi bukan fokus pada kurva
. Mengapa demikian? Karena kurva tersebut hanyalah aturan pemasangan dan
, sedangkan fokus kita pada nilai
yang ada pada sumbu‐ . Demikian juga perlu diingat bahwa mendekati pada contoh ini adalah mendekati dari kiri dan mendekati
dari kanan karena fungsi terdefinisi di dan di
persekitaran . Untuk melihat pola yang terjadi perhatikan tabel Tabel berikut.
lim
→
arti ya u tuk setiap terdapat
sehi gga berlaku |
| u tuk
| |
Modul Matematika SMA
7
Tabel 1
, ,
, ,
, ,
, ,
, ?
, ,
,
Mencermati tersebut wajar kita akan menyimpulkan bahwa mendekati untuk
mendekati . Dari sini muncul pertanyaan berapa nilai ? , atau haruskah
? Kenyataannya memang mendekati jika mendekati dan
kebetulan . Sebenarnya nilai yang didekati oleh
jika mendekati tidak ada kaitan dengan nilai
. Bahkan andaikan tidak terdefinisipun
tetap mendekati jika mendekati lihat grafik dan tabel di atas . Kondisi seperti ini kita maknai sebagai jika → maka
→ sebagian literatur mengganti kata mendekati dengan kata menuju . nilah sebenarnya yang kemudian
ditulis menjadi
lim
→
. Apabila kita dalami lebih lanjut, pengungkapan jika → maka
→ yaitu mendefinisikan limit dengan bahasa verbal belum operasional dalam matematika.
Mengapa demikian? Misalkan diketahui lim
→
dan lim
→
, kemudian kita diminta menunjukkan bahwa lim
→
, maka kita akan mengalami kesulitan dalam mengungkapkan buktinya. Oleh karena itu perlu
pendefinisian secara formal. Seorang matematikawan Perancis bernama Augustin‐ Louis Cauchy menyusun definisi tentang limit secara formal yang masih digunakan
sampai sekarang sebagai berikut.
Definisi ini sebenarnya sama dengan mengatakan jika → maka → . Selain
itu dari definisi tersebut nyata terlihat bahwa kita tidak membicarakan nilai di
Definisi : Pengertian
L x
f
c x
lim
secara formal adalah bahwa untuk setiap ,
terdapat sedemikian hingga | – |
untuk setiap | – | .