Sifat‐sifat dan teorema limit

Kegiatan Pembelajaran KB Bagian Kalkulus 14 Perhatikan bahwa kita telah berani menggunakan tanda ∞ setelah ada definisi tersebut. Untuk mempermudah pemahaman perhatikan tabel berikut. Tabel 3 Limit Fungsi Nilai limit fungsi Keterangan lim → ∞ Baik limit kiri maupun limit kanan menuju positip tak hingga lim → Tidak ada Limit kiri menuju negatif tak hingga sedangkan limit kanan menuju positip tak hingga lim → ∞ Baik limit kiri maupun limit kanan menuju negatif tak hingga Tidak ada Limit kiri tidak sama dengan limit kanan Perlu menjadi perhatian bahwa tanda sama dengan pada contoh lim → ∞, bukan berarti limitnya ada di tak hingga, namun untuk menjelaskan bagaimana ketidakadaan limit fungsi tersebut. Ringkasnya, khusus untuk contoh tersebut, nilai fungsi akan menuju tak hingga jika menuju . Secara umum, bila diketahui lim → ∞ atau lim → ∞ bukan berarti limitnya ada di tak hingga atau di negatif tak hingga, namun untuk menggambarkan bagaimana limit fungsi tersebut tidak ada dengan menunjukkan bahwa nilai fungsi menuju tak hingga atau negatif tak hingga jika menuju . Contoh . Tentukan limit lim → lim → Modul Matematika SMA 15 Jawab: Perhatikan bahwa untuk mendekati dari kiri → maka menuju negatif tak hingga sedangkan jika mendekati dari kanan → maka menuju positif tak hingga. Dengan demikian lim → tidak ada Contoh . Tentukan limit lim → √ Jawab: Perhatikan bahwa √ terdefinisi untuk atau dengan kata lain | ∈ , . Sehingga limit yang dapat kita selidiki adalah limit kanan. Sedangkan limit kiri tidak dibicarakan. Jadi pemaknaan → adalah → . Jika kita perhatikan dan kita cermati maka nilai semakin membesar apabila mendekati . Jadi lim → √ ∞

4. Limit di tak hingga limits at infinity

Untuk mempermudah dalam pemahaman kita mulai dari contoh suatu fungsi yang didefinisikan sebagai . Selanjutnya kita lihat grafik fungsinya. Gambar 7 Limit di tak hingga Secara grafik, kita dapat lihat bahwa akan munuju bila menuju tak hingga, atau kita tulis → untuk → ∞ . Dapat juga kita tulis → ∞ → . Sementara itu secara numerik dapat kita lihat pada tabel berikut. Kegiatan Pembelajaran KB Bagian Kalkulus 16 Tabel 4 ∞ ← ‐ ‐ ‐ → ∞ ← , , , , , , , , → Dengan memperhatikan tabel maka dapat ditarik kesimpulan bahwa → untuk → ∞. Apabila dimaknai lebih lanjut, pernyataan menuju tak hingga → ∞ mengandung arti bahwa untuk setiap bilangan positip selalu ada nilai sehingga . Demikian pula untuk menuju negatif tak hingga → ∞ mengandung arti bahwa untuk setiap bilangan negatif selalu ada nilai sehingga . Berdasarkan pemaknaan ini maka disusun definisi formal untuk limit di tak hingga sebagai berikut. Definisi di atas dapat diilustrasikan seperti gambar berikut. Gambar 8 Limit di tak hingga Misalka suatu bila ga real aka ya g di aksud de ga lim → adalah u tuk setiap terdapat sehi gga jika berlaku | | . De ikia pula u tuk lim → arti ya setiap terdapat sehi gga jika berlaku | |