Peta Kompetensi Modul G Matematika SMA Guru Pembelajar
Modul Matematika SMA
7
Tabel 1
, ,
, ,
, ,
, ,
, ?
, ,
,
Mencermati tersebut wajar kita akan menyimpulkan bahwa mendekati untuk
mendekati . Dari sini muncul pertanyaan berapa nilai ? , atau haruskah
? Kenyataannya memang mendekati jika mendekati dan
kebetulan . Sebenarnya nilai yang didekati oleh
jika mendekati tidak ada kaitan dengan nilai
. Bahkan andaikan tidak terdefinisipun
tetap mendekati jika mendekati lihat grafik dan tabel di atas . Kondisi seperti ini kita maknai sebagai jika → maka
→ sebagian literatur mengganti kata mendekati dengan kata menuju . nilah sebenarnya yang kemudian
ditulis menjadi
lim
→
. Apabila kita dalami lebih lanjut, pengungkapan jika → maka
→ yaitu mendefinisikan limit dengan bahasa verbal belum operasional dalam matematika.
Mengapa demikian? Misalkan diketahui lim
→
dan lim
→
, kemudian kita diminta menunjukkan bahwa lim
→
, maka kita akan mengalami kesulitan dalam mengungkapkan buktinya. Oleh karena itu perlu
pendefinisian secara formal. Seorang matematikawan Perancis bernama Augustin‐ Louis Cauchy menyusun definisi tentang limit secara formal yang masih digunakan
sampai sekarang sebagai berikut.
Definisi ini sebenarnya sama dengan mengatakan jika → maka → . Selain
itu dari definisi tersebut nyata terlihat bahwa kita tidak membicarakan nilai di
Definisi : Pengertian
L x
f
c x
lim
secara formal adalah bahwa untuk setiap ,
terdapat sedemikian hingga | – |
untuk setiap | – | .
Kegiatan Pembelajaran KB Bagian Kalkulus
8
atau nilai tetapi nilai
untuk disekitar
c
. Bahkan andaikan tidak terdefinisi di maka tetap limit fungsi tersebut. Sebagai contoh amati grafik berikut.
Gambar 2 Fungsi tidak kontinyu
Jelas bahwa fungsi tidak terdefinisi di tidak terdefinisi , tetapi nilai
limitnya ada yaitu atau lim
→ √
. Sekarang, amati fungsi yang didefinisikan
, ,
Gambar 3 Fungsi tidak ada limit
Pada Gambar terlihat bahwa ada dua kasus yang terkait. Pertama, untuk mendekati dari arah kiri
→ maka
mendekati , artinya tidak
mendekati dan juga tidak mendekati nilai yang lain. Kedua, untuk mendekati dari arah kanan →
maka mendekati , tidak mendekati dan juga tidak