Kegiatan Pembelajaran KB Bagian Kalkulus
10
Berikut ini contoh penggunaan sifat‐sifat limit. Detail penggunan sifat limit ini dapat dilihat di bagian aktivitas pada modul ini.
Contoh . : Tentukan hasil lim
→
sin Jawab:
lim
→
sin lim
→
lim
→
sin
Contoh . : Tentukan hasil lim
→
Jawab: lim
→
lim
→
lim
→
Contoh . : Tentukan nilai lim
→
⋅ Jawab:
lim
→
⋅ lim
→
⋅ lim
→
⋅ lim
→
lim
→
⋅
Namun perhatikan untuk kasus berikut:
lim
→
⋅ lim
→
⋅ lim
→
memanfaatkan sifat Seperti kita ketahui ruas kiri hasilnya sedangkan ruas kanan tidak terdefinisi.
Mengapa demikian? lihat soal latihan
Modul Matematika SMA
11
Contoh . : Diketahui lim
→
, tentukan lim
→
. Jawab:
lim
→
sin lim
→
sin lim
→
lim
→
sin
Contoh . : Tentukan nilai lim
→
Jawab: lim
→
lim
→
√
3. Limit tak hingga infinite limits
Pada bagian sebelumnya telah disinggung mengenai ketidakadaan limit suatu fungsi. Selanjutnya amati grafik fungsi
seperti gambar berikut.
Gambar 4 Grafik Ketidakadaan limit
Kegiatan Pembelajaran KB Bagian Kalkulus
12
Apabila kita cermati Gambar di atas terlihat bahwa untuk mendekati dari arah kiri maka menuju tak hingga negatif. Tetapi untuk mendekati dari arah kanan
maka menuju tak hingga positip. Kondisi seperti ini menunjukkan bahwa tidak
punya limit untuk mendekati . Jadi lim
→
tidak ada. Selanjutnya bandingkan dengan fungsi berikut.
Gambar 5 Limit tak hingga
Perhatikan pada Gambar di atas, tampak bahwa akan menuju tak hingga
positip bila menuju . Kasus seperti ini pun menunjukkan bahwa tidak
mempunyai limit untuk mendekati . Jadi lim
→
tidak ada. Dari sini muncul permasalahan, apa yang membedakan ketidakadaan nilai lim
→
, lim
→
dan lim
→
dengan , untuk
, untuk . Apakah ketiganya sama? Atau ada
perbedaan dari ketiganya. Secara pengamatan dari ketiganya tampak adanya perbedaan. Perhatikan tabel berikut
Tabel 2
Limit Fungsi Nilai limit fungsi
Keterangan
lim
→
Tidak ada Li it kiri e uju egatif tak hi gga
seda gka li it ka a e uju positip tak hi gga
lim
→
Tidak ada Baik li it kiri aupu li it ka a
e uju positip tak hi gga
Modul Matematika SMA
13
lim
→
dimana ,
untuk ,
untuk Tidak ada
Li it kiri e uju seda gka li it ka a e uju
Bila kita cermati maka ada perbedaan yang nyata dari ketiganya yaitu kondisi yang menyebabkan limit tidak ada lihat kolom keterangan . Dari sini kemudian
dikembangkan suatu konsep limit tak hingga sebagai berikut. Suatu limit fungsi dikatakan sebagai limit tak hingga
infinite limits
jika menuju tak hingga positip atau menuju tak hingga negatif. Secara formal definisi yang
dimaksud adalah sebagai berikut
Dengan pendefinisian ini maka ketidakadaaan limit seperti yang sudah di bahas sebelumnya menjadi berbeda sedikit. Sebagai contoh lim
→
. Semula lim
→
tidak ada, tetapi dengan pendefinisian baru maka kita tulis lim
→
∞. Sebagai gambaran lihat grafik di bawah
Gambar 6 Limit tak hingga
Misalkan suatu fungsi yang terdefinisi pada interval terbuka yang memuat boleh juga tidak terdefinisi di maka yang dimaksud dengan
lim
→
∞ adalah untuk setiap
terdapat sehingga
untuk |
| .
Demikian pula untuk lim
→
∞ artinya untuk setiap
terdapat sehingga
untuk |
|
Kegiatan Pembelajaran KB Bagian Kalkulus
14
Perhatikan bahwa kita telah berani menggunakan tanda ∞ setelah ada definisi
tersebut. Untuk mempermudah pemahaman perhatikan tabel berikut.
Tabel 3
Limit Fungsi Nilai limit fungsi
Keterangan lim
→
∞ Baik limit kiri maupun limit
kanan menuju positip tak hingga
lim
→
Tidak ada Limit kiri menuju negatif tak
hingga sedangkan limit kanan menuju positip tak hingga
lim
→
∞ Baik limit kiri maupun limit
kanan menuju negatif tak hingga
Tidak ada Limit kiri tidak sama dengan
limit kanan
Perlu menjadi perhatian bahwa tanda sama dengan pada contoh lim
→
∞, bukan berarti limitnya ada di tak hingga, namun untuk menjelaskan bagaimana
ketidakadaan limit fungsi tersebut. Ringkasnya, khusus untuk contoh tersebut, nilai fungsi akan menuju tak hingga jika menuju .
Secara umum, bila diketahui lim
→
∞ atau lim
→
∞ bukan berarti limitnya ada di tak hingga atau di negatif tak hingga, namun untuk menggambarkan
bagaimana limit fungsi tersebut tidak ada dengan menunjukkan bahwa nilai fungsi menuju tak hingga atau negatif tak hingga jika menuju .
Contoh . Tentukan limit lim
→
lim
→