Pengertian limit fungsi Uraian Materi

Kegiatan Pembelajaran KB Bagian Kalkulus 10 Berikut ini contoh penggunaan sifat‐sifat limit. Detail penggunan sifat limit ini dapat dilihat di bagian aktivitas pada modul ini. Contoh . : Tentukan hasil lim → sin Jawab: lim → sin lim → lim → sin Contoh . : Tentukan hasil lim → Jawab: lim → lim → lim → Contoh . : Tentukan nilai lim → ⋅ Jawab: lim → ⋅ lim → ⋅ lim → ⋅ lim → lim → ⋅ Namun perhatikan untuk kasus berikut: lim → ⋅ lim → ⋅ lim → memanfaatkan sifat Seperti kita ketahui ruas kiri hasilnya sedangkan ruas kanan tidak terdefinisi. Mengapa demikian? lihat soal latihan Modul Matematika SMA 11 Contoh . : Diketahui lim → , tentukan lim → . Jawab: lim → sin lim → sin lim → lim → sin Contoh . : Tentukan nilai lim → Jawab: lim → lim → √

3. Limit tak hingga infinite limits

Pada bagian sebelumnya telah disinggung mengenai ketidakadaan limit suatu fungsi. Selanjutnya amati grafik fungsi seperti gambar berikut. Gambar 4 Grafik Ketidakadaan limit Kegiatan Pembelajaran KB Bagian Kalkulus 12 Apabila kita cermati Gambar di atas terlihat bahwa untuk mendekati dari arah kiri maka menuju tak hingga negatif. Tetapi untuk mendekati dari arah kanan maka menuju tak hingga positip. Kondisi seperti ini menunjukkan bahwa tidak punya limit untuk mendekati . Jadi lim → tidak ada. Selanjutnya bandingkan dengan fungsi berikut. Gambar 5 Limit tak hingga Perhatikan pada Gambar di atas, tampak bahwa akan menuju tak hingga positip bila menuju . Kasus seperti ini pun menunjukkan bahwa tidak mempunyai limit untuk mendekati . Jadi lim → tidak ada. Dari sini muncul permasalahan, apa yang membedakan ketidakadaan nilai lim → , lim → dan lim → dengan , untuk , untuk . Apakah ketiganya sama? Atau ada perbedaan dari ketiganya. Secara pengamatan dari ketiganya tampak adanya perbedaan. Perhatikan tabel berikut Tabel 2 Limit Fungsi Nilai limit fungsi Keterangan lim → Tidak ada Li it kiri e uju egatif tak hi gga seda gka li it ka a e uju positip tak hi gga lim → Tidak ada Baik li it kiri aupu li it ka a e uju positip tak hi gga Modul Matematika SMA 13 lim → dimana , untuk , untuk Tidak ada Li it kiri e uju seda gka li it ka a e uju Bila kita cermati maka ada perbedaan yang nyata dari ketiganya yaitu kondisi yang menyebabkan limit tidak ada lihat kolom keterangan . Dari sini kemudian dikembangkan suatu konsep limit tak hingga sebagai berikut. Suatu limit fungsi dikatakan sebagai limit tak hingga infinite limits jika menuju tak hingga positip atau menuju tak hingga negatif. Secara formal definisi yang dimaksud adalah sebagai berikut Dengan pendefinisian ini maka ketidakadaaan limit seperti yang sudah di bahas sebelumnya menjadi berbeda sedikit. Sebagai contoh lim → . Semula lim → tidak ada, tetapi dengan pendefinisian baru maka kita tulis lim → ∞. Sebagai gambaran lihat grafik di bawah Gambar 6 Limit tak hingga Misalkan suatu fungsi yang terdefinisi pada interval terbuka yang memuat boleh juga tidak terdefinisi di maka yang dimaksud dengan lim → ∞ adalah untuk setiap terdapat sehingga untuk | | . Demikian pula untuk lim → ∞ artinya untuk setiap terdapat sehingga untuk | | Kegiatan Pembelajaran KB Bagian Kalkulus 14 Perhatikan bahwa kita telah berani menggunakan tanda ∞ setelah ada definisi tersebut. Untuk mempermudah pemahaman perhatikan tabel berikut. Tabel 3 Limit Fungsi Nilai limit fungsi Keterangan lim → ∞ Baik limit kiri maupun limit kanan menuju positip tak hingga lim → Tidak ada Limit kiri menuju negatif tak hingga sedangkan limit kanan menuju positip tak hingga lim → ∞ Baik limit kiri maupun limit kanan menuju negatif tak hingga Tidak ada Limit kiri tidak sama dengan limit kanan Perlu menjadi perhatian bahwa tanda sama dengan pada contoh lim → ∞, bukan berarti limitnya ada di tak hingga, namun untuk menjelaskan bagaimana ketidakadaan limit fungsi tersebut. Ringkasnya, khusus untuk contoh tersebut, nilai fungsi akan menuju tak hingga jika menuju . Secara umum, bila diketahui lim → ∞ atau lim → ∞ bukan berarti limitnya ada di tak hingga atau di negatif tak hingga, namun untuk menggambarkan bagaimana limit fungsi tersebut tidak ada dengan menunjukkan bahwa nilai fungsi menuju tak hingga atau negatif tak hingga jika menuju . Contoh . Tentukan limit lim → lim →