Kegiatan Pembelajaran KB Bagian Kalkulus
8
atau nilai tetapi nilai
untuk disekitar
c
. Bahkan andaikan tidak terdefinisi di maka tetap limit fungsi tersebut. Sebagai contoh amati grafik berikut.
Gambar 2 Fungsi tidak kontinyu
Jelas bahwa fungsi tidak terdefinisi di tidak terdefinisi , tetapi nilai
limitnya ada yaitu atau lim
→ √
. Sekarang, amati fungsi yang didefinisikan
, ,
Gambar 3 Fungsi tidak ada limit
Pada Gambar terlihat bahwa ada dua kasus yang terkait. Pertama, untuk mendekati dari arah kiri
→ maka
mendekati , artinya tidak
mendekati dan juga tidak mendekati nilai yang lain. Kedua, untuk mendekati dari arah kanan →
maka mendekati , tidak mendekati dan juga tidak
Modul Matematika SMA
9
mendekati nilai yang lain. Dengan keadaan seperti ini apakah lim
→
, untuk , untuk
ada? Atau nilai limitnya ada dua yaitu dan ? Pertanyaan ini akan terjawab setelah kita paham pengertian limit fungsi.
2. Sifat‐sifat dan teorema limit
Perlu menjadi perhatian bahwa ketika ingin menentukan nilai limit suatu fungsi, kita tidak harus kembali pada definisi limit, tetapi memanfaatkan teorema atau sifat‐sifat
limit. Berkaitan dengan teorema atau sifat yang dimaksud akan lebih baik jika teorema atau sifat yang digunakan sudah dibuktikan terlebih dahulu. Berikut ini
beberapa sifat dan teorema terkait limit yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan limit
Misalkan
c
suatu konstanta dan lim
→
serta lim
→
dua‐duanya ada maka berlaku
lim
→
lim
→
lim
→
lim
→
lim
→
lim
→
lim
→
. lim
→
. lim
→
lim
→
→ →
bila lim
→
lim
→
lim
→
lim
→
lim
→
lim
→
lim
→
bila positip dan ruas kiri limitnya ada lim
→
lim
→
lim
→
, jika dalam bentuk ,
dan ada. Teorema
L opital Untuk
suatu fungsi yang kontinyu di maka lim
→
Bukti untuk sifat di atas tidak disajikan dalam tulisan ini, tetapi pembaca dapat memperolehnya di buku referensi pada daftar pustaka.
Kegiatan Pembelajaran KB Bagian Kalkulus
10
Berikut ini contoh penggunaan sifat‐sifat limit. Detail penggunan sifat limit ini dapat dilihat di bagian aktivitas pada modul ini.
Contoh . : Tentukan hasil lim
→
sin Jawab:
lim
→
sin lim
→
lim
→
sin
Contoh . : Tentukan hasil lim
→
Jawab: lim
→
lim
→
lim
→
Contoh . : Tentukan nilai lim
→
⋅ Jawab:
lim
→
⋅ lim
→
⋅ lim
→
⋅ lim
→
lim
→
⋅
Namun perhatikan untuk kasus berikut:
lim
→
⋅ lim
→
⋅ lim
→
memanfaatkan sifat Seperti kita ketahui ruas kiri hasilnya sedangkan ruas kanan tidak terdefinisi.
Mengapa demikian? lihat soal latihan
