Modul Matematika SMA
71
60°
√3 1
√3 1
3
√3
60°
2
2
60°
2 √3
2 √3
2 3
√3
e. Sudut 90° Dengan cara yang sama dengan sudut 0°, dalam sistem kuadran sudut 90° berada
pada sumbu dengan ,
, dan , untuk
. Perbandingan trigonometri untuk sudut 90° adalah sebagai berikut.
90°
1
90°
90°
90°
90°
90° 1
3. Sudut Berelasi
Dalam sub bab ini berisi cara untuk menentukan atau menghitung nilai‐nilai dari keenam perbandingan trigonometri untuk suatu sudut A yang berada di kuadran ,
, , maupun V. al ini dapat dilakukan apabila sudut A dapat diubah atau direlasikan dengan suatu sudut di kuadran dengan 0
90° . Sebagai
contoh sudut A= °
berelasi dengan sudut °
atau °
, karena °
° atau
° °
. Relasi dari sudut‐sudut ini dalam trigonometri dapat dilukiskan pada grafik Cartesius dengan sifat pencerminan refleksi maupun
perputaran rotasi . Sudut berelasi di kuadran
Relasi sudut dengan 90° , dengan 0
90°
Kegiatan Pembelajaran KB Bagian Trigonometri
72
Perhatikan gambar berikut.
x y
O
Aa,b A’b,a
a b
a b
90 - y=x
Gambar 10
Sudut berelasi di kuadran Titik
, dicerminkan terhadap garis maka diperoleh :
i. Bayangan titik , yaitu ,
ii. , maka
° iii.
Panjang Berdasarkan gambar tersebut, maka diperoleh:
Tabel 2
Untuk , dan sudut
Untuk , dan sudut
° °
°
° °
° °
° °
°
° °
° Dari hasil diatas, dapat disimpulkan relasi antara sudut dengan sudut
° ,
yaitu :
Modul Matematika SMA
73
° °
° °
° °
Diperhatikan bahwa, untuk sudut yang berelasi dengan °
, berubah
menjadi ,
berubah menjadi ,
berubah menjadi ,
berubah menjadi
, berubah menjadi
, dan berubah menjadi
. Sudut berelasi di kuadran
Relasi sudut‐sudut dalam kuadran meliputi relasi antara sudut dengan °
atau dengan °
, dengan °.
Relasi sudut dengan sudut °
. Perhatikan gambar berikut
x y
O
Aa,b A’-b,a
a a
-b 90 +
Gambar 11
Sudut berelasi di kuadran
Diketahui titik , , dengan panjang
, dan ∠ . Titik
, diputar berlawanan arah jarum jam sejauh °, diperoleh
i. Bayangan titik ∶ ,
Kegiatan Pembelajaran KB Bagian Trigonometri
74
ii. ∠ °
iii. Panjang .
Selanjutnya berdasarkan gambar, diperoleh perbandingan trigonemetri sudut dan
°
Tabel 3
Untuk , dan sudut
Untuk , dan sudut
° °
°
° °
° °
° °
°
° °
°
Dari hasil diatas, dapat disimpulkan relasi antara sudut dengan sudut °
, yaitu : °
° °
° °
° Diperhatikan bahwa, untuk sudut yang berelasi dengan
° ,
berubah menjadi
, berubah menjadi
, berubah menjadi
, berubah
Modul Matematika SMA
75
menjadi ,
berubah menjadi , dan
berubah menjadi . Selanjutnya
karena °
berada di kuadran , maka dan
bernilai positif, sedangkan yang lainnya bernilai negatif.
Relasi sudut dengan sudut °
. Perhatikan gambar berikut
x y
O
Aa,b a
b 180 -
-a A’-a,b
Gambar 12
Relasi sudut dengan sudut °
Diketahui titik , , dengan panjang
, dan sudut . Titik
, dicerminkan terhadap sumbu , maka diperoleh : i. Bayangan titik ∶
, ii.
° iii. Panjang
. Selanjutnya berdasarkan gambar, diperoleh perbandingan trigonemetri
sudut dan °
Tabel 4
Untuk , dan sudut Untuk
, dan sudut °
° °
° °
° °
° °
Kegiatan Pembelajaran KB Bagian Trigonometri
76
° °
° °
Dari hasil diatas, dapat disimpulkan relasi antara sudut dengan sudut °
, yaitu : °
° °
° °
° Sudut berelasi di kuadran
Relasi sudut‐sudut dalam kuadran meliputi relasi antara sudut dengan °
atau dengan °
, dengan °.
Relasi sudut dengan °
. Perhatikan gambar berikut
x y
O
Aa,b a
b 180 +
-a
A’-a,-b -b
Gambar 13
Sudut berelasi di kuadran Diketahui titik
, , dengan panjang , dan sudut
. Titik , diputar berlawanan arah jarum jam sejauh
°, diperoleh i. Bayangan titik ∶
, .
ii. iii. Panjang
.
Modul Matematika SMA
77
Selanjutnya berdasarkan gambar, diperoleh perbandingan trigonemetri sudut dan
° .
Tabel 5
Untuk , dan sudut Untuk
, dan sudut
° °
° °
° sec °
° °
° °
° °
°
Dari hasil diatas, dapat disimpulkan relasi antara sudut dengan sudut
° , yaitu :
° °
° °
° sec
° Relasi sudut dengan sudut
° .
Perhatikan gambar berikut
Kegiatan Pembelajaran KB Bagian Trigonometri
78
x y
O
Aa,b A’b,a
a b
a
b y=x
A”-b,-a -b
-a
270 -
Gambar 14
Relasi sudut dengan sudut °
Diketahui titik , , dengan panjang
, dan . Titik
, dicerminkan terhadap garis
, kemudian dilanjutkan dengan rotasi sejauh
°, diperoleh i. Bayangan akhir titik ∶
, ii. ∠
° iii. Panjang
. Selanjutnya berdasarkan gambar, diperoleh perbandingan trigonemetri
sudut dan sudut °
.
Tabel 6
Untuk , dan sudut
Untuk ,
dan sudut °
° °
° °
° °
Modul Matematika SMA
79
° °
° °
° °
Dari hasil diatas, dapat disimpulkan relasi antara sudut dengan sudut °
, yaitu °
° sin
° °
° °
Diperhatikan bahwa, untuk sudut yang berelasi dengan °
, berubah menjadi
, berubah menjadi
, berubah menjadi
, berubah menjadi
, berubah menjadi
, dan berubah
menjadi . Selanjutnya karena
° berada di kuadran , maka
dan bernilai positif, sedangkan yang lainnya bernilai negatif.
Sudut berelasi di kuadran V Relasi sudut‐sudut dalam kuadran V meliputi relasi antara sudut
dengan °
, dengan °
, atau dengan dengan
°. Relasi sudut dengan
° .
Perhatikan gambar berikut
Kegiatan Pembelajaran KB Bagian Trigonometri
80
x y
O
Aa,b a
b b
A’b,-a -a
270 +
Gambar 15
Sudut berelasi di kuadran V
Diketahui titik , , dengan panjang
, dan ∠ . Titik
, diputar berlawanan arah jarum jam sejauh
°, diperoleh i. Bayangan titik ∶
, ii. ∠
° iii. Panjang
. Selanjutnya berdasarkan gambar, diperoleh perbandingan trigonemetri
sudut dan °
.
Tabel 7
Untuk , dan sudut
Untuk ,
dan sudut °
° °
° °
° °
°
°
Modul Matematika SMA
81
° °
° °
Dari hasil diatas, dapat disimpulkan relasi antara sudut dengan sudut
° , yaitu :
° cos
° °
° °
° Diperhatikan bahwa, untuk sudut yang berelasi dengan
° ,
berubah menjadi ,
berubah menjadi ,
berubah menjadi ,
berubah menjadi ,
berubah menjadi , dan
berubah menjadi
. Selanjutnya karena °
berada di kuadran V, maka dan
bernilai positif, sedangkan yang lainnya bernilai negatif.
Relasi sudut dengan sudut °
. Perhatikan gambar berikut
Kegiatan Pembelajaran KB Bagian Trigonometri
82
x y
O
Aa,b a
b
A’a,-b -b
360 -
Gambar 16
Relasi sudut dengan sudut °
Diketahui titik , , dengan panjang
, dan sudut . Titik
, dicerminkan terhadap sumbu , diperoleh :
i. Bayangan titik ∶ ,
ii. ∠ °
iii. Panjang .
Selanjutnya berdasarkan gambar, diperoleh perbandingan trigonemetri sudut dan
° .
Tabel 8
Untuk , dan sudut
Untuk ,
dan sudut °
° °
° °
° °
° °
° °
° °
Modul Matematika SMA
83
Dari hasil diatas, dapat disimpulkan relasi antara sudut dengan sudut
° , yaitu
° °
° °
° °
Relasi sudut dengan sudut .
Perhatikan gambar berikut
x y
O
Aa,b a
b
A’a,-b -b
-
Gambar 17
Relasi sudut dengan sudut
Diketahui titik , , dengan panjang
, dan . Titik
, dicerminkan terhadap sumbu , diperoleh : i. Bayangan titik ∶
, ii. ∠
iii. Panjang .
Selanjutnya berdasarkan gambar, diperoleh perbandingan trigonemetri sudut dan
.
Kegiatan Pembelajaran KB Bagian Trigonometri
84
Tabel 9
Untuk , dan sudut
Untuk ,
dan sudut °
cos °
° °
° °
Dari hasil diatas, dapat disimpulkan relasi antara sudut dengan sudut , yaitu :
Sudut yang lebih besar dari °
Perbandingan trigonometri untuk sudut °, dapat dilakukan
dengan cara mengubah menjadi ∙
° , dengan k adalah
bilangan asli. Nilai perbandingan trigonometri dari sudut yang lebih dari ° mengikuti aturan berikut
∙ °
∙ °
∙ °
Modul Matematika SMA
85
∙ °
∙ °
csc ∙ °
Tentukan nilai dari : a.
° b.
° Jawab :
a. Untuk menentukan nilai dari ° dapat dilakukan dengan
beberapa cara i. Cara .
° °
° °
√ ii. Cara .
° °
° °
√ b. Untuk menentukan nilai dari
° dapat dilakukan dengan beberapa cara
i. Cara . °
° °
°
ii. Cara . °
° °
°
4. Invers fungsi trigonometri
Sebelumnya diingat kembali bahwa setiap fungsi pasti memiliki invers, namun tidak semua invers tersebut merupakan fungsi. anya fungsi yang
Kegiatan Pembelajaran KB Bagian Trigonometri
86
berkorespondensi satu – satu bijektif sajalah yang inversnya merupakan fungsi. Diberikan sebuah fungsi
: A → B. Fungsi invers dari fungsi dituliskan adalah fungsi yang
memenuhi, jika , maka
, untuk setiap ∈ dan ∈ . Pernyataan tersebut ekuivalen dengan
disebut fungsi invers dari fungsi jika dan hanya jika
dan , untuk setiap ∈ ,
dan untuk setiap ∈ . Setiap fungsi trigonometri memiliki inversnya, namun tidak semua inversnya merupakan fungsi, mengingat bahwa fungsi
trigonometri bersifat periodik. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut. Diberikan fungsi
. Jelas bahwa °
, dan °
, diperoleh bahwa ° atau
°. Dalam hal ini, invers dari
bukan merupakan fungsi. Namun jika domain dari
dibatasi maka invers fungsi tersebut bisa menjadi fungsi. Misalkan fungsi
sin dengan domain
o
≤ ≤
o
. nvers dari fungsi sin merupakan fungsi. Selanjutnya didefinisikan fungsi invers dari fungsi
trigonometri sebagai berikut :
Tabel 10 Fungsi
Invers dari
Domain Range
sin sin
, °, °
cos cos
, °,
° tan
tan ∞, ∞
°, ° Catatan:
tidak sama dengan .
Bentuk bisa ditulis dengan arcsin . Demikian juga untuk yang lainnya,
ditulis dengan dan, tan
ditulis dengan . Lebih
lanjut penulisan pangkat , diganti dengan
didepan fungsi trigonometri.
Selanjutnya, misalkan , maka
, sehingga diperoleh
Modul Matematika SMA
87
Akibatnya
atau
Analog dengan cara yang sama diperoleh
dan
Contoh soal Tentukan sudut pada gambar berikut.
3
4
Gambar 18
Segitiga Siku ‐ siku Jawab :
Dengan rumus perbandingan trigonometri tangen diperoleh
, atau diperoleh
, , °
Catatan : Untuk menentukan nilai arctan dan lainnya bisa menggunakan tabel trigonometri atau menggunakan kalkulator.
Kegiatan Pembelajaran KB Bagian Trigonometri
88
D. Aktivitas Pembelajaran
Untuk lebih memantapkan pemahaman peserta diklat atau pembaca tentang invers fungsi trigonometri, isilah titik – titik di bawah ini untuk menyederhanakan
bentuk berikut ini.
Untuk menyelesaikan permasalahan diatas dapat dilakukan dengan tahapaan berikut.
i. Dimisalkan , maka
… …
ii. Selanjutnya dari
… …
diperoleh gambar
y
...
...
iii. Langkah selanjutnya adalah dengan mencari nilai . Dengan dalil Pythagoras diperoleh:
… . . … . .
… .. … ..
√… . ⋯ √…
iv. Selanjutnya dari gambar tersebut, dengan rumus perbandingan sudut diperoleh
… … √…
Jadi, √
Modul Matematika SMA
89
E. Latihan
. Diketahui adalah sudut lancip memenuhi , tentukan nilai dari
, , dan
. . Dua buah theodolite diposisikan pada titik A dan B untuk mengukur tinggi
sebuah bukit, sepeti tampak pada gambar berikut :
Diketahui jarak dari A ke B adalah km. Berapakah tinggi bukit tersebut ? . Tentukan nilai‐nilai dari
° , °,
°, °, dan
°.
. Tentukan nilai dari
° ∙ ° ∙
° ° ∙
° ∙ °
. Jika
°, buktikan bahwa .
Dalam segitiga sebarang, buktikan bahwa
. Buktikan bahwa untuk
berlaku
. Buktikan bahwa
°
. Tentukan nilai dari
. Sederhanakan bentuk
Puncak bukit
A B
33 20
t
5 km
Kegiatan Pembelajaran KB Bagian Trigonometri
90
F. Rangkuman
. Fungsi Trigonometri Perhatikan gambar segitiga siku – siku berikut.
Didefinisikan
. Sudut stimewa 0°
30° 45°
60° 90°
1 2
1 2 √
2 1
2 √ 3
1 1
1 2 √
3 1
2 √ 2
1 2
1 3 √
3 1
√3 Tak
terdefinisi
Tak terdefinisi
√3 1
1 3 √
3 1
2 3 √
3 √2
2 Tak
terdefinisi
Tak terdefinisi
2 √2
2 3 √
3 1
ϴ x
y r
Modul Matematika SMA
91
. Sudut Berelasi
Berikut beberapa contoh sudut berelasi
° °
° G.
Umpan Balik dan Tindak Lanjut
Untuk mengetahui tingkat penguasaan anda, cocokkan jawaban dengan kunci jawaban pada bagian akhir kegiatan pembelajaran. itung jawaban benar anda,
kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan anda terhadap materi kegiatan pembelajaran ini.
Rumus Tingkat penguasaan=
Jumlah jawaban benar 10
100 Kriteria
– = baik sekali
– = baik – = cukup
= kurang
H. Kunci Jawaban
. √ ,
, √
. ,
. °
, °
√ , °
, °
√ , °
, .
. . Terbukti.
.
. Terbukti .
.
Kegiatan Pembelajaran KB Bagian Trigonometri
92
KB : dentitas Trigonometri, Aturan Sinus dan Cosinus, serta Sifat MaksimumMinimum Fungsi Trigonometri
A. Tujuan
- Menjelaskan identitas dasar trigonometri sebagai hubungan antara rasio trigonometri dan perannya dalam membuktikan identitas trigonometri lainnya
- Menjelaskan aturan sinus dan cosinus - Menggunakan sifat maksimumminimum fungsi untuk penyelesaian masalah
B. Indikator Pencapaian Kompetensi
Peserta diklat atau pembaca dapat menjelaskan identitas dasar trigonometri sebagai hubungan antara rasio trigonometri dan perannya dalam membuktikan identitas
trigonometri lainnya, dan dapat menjelaskan aturan sinus dan cosinus serta menggunakan sifat maksimumminimum fungsi untuk penyelesaian masalah
C. Uraian Materi
1. Identitas Trigonometri
Seperti kita ketahui sebelumnya bahwa 30°
1 2
, 30°
1 2
√3, 45°
45°
1 2
√2. ni berakibat bahwa 30°
2
30° 1
4 3
4 1
2
45°
2
45° 2
4 2
4 1
Selanjutnya yang menjadi pertanyaan adalah apakah bentuk di atas hanya berlaku untuk sudut – sudut tertentu atau berlaku untuk sebarang sudut?
Perhatikan gambar berikut.
Modul Matematika SMA
93
A
B C
y
x r
Gambar 19
Segitiga siku – siku Dari rumus perbandingan trigonometri diperoleh
, ,
, ,
, Akibatnya diperoleh,
1 1
Analog dengan cara yang sama diperoleh 1
dan 1
Selanjutnya diperhatikan,
Akibatnya diperoleh
Perhatikan Gambar , dengan Dalil Pythagoras diperoleh
2 2
2 2
2 2
2 2
2
1 berakibat
2 2
1 Bentuk di atas disebut identitas trigonometri.
Kegiatan Pembelajaran KB Bagian Trigonometri
94
2. Aturan Sinus pada Segitiga
Diperhatikan segitiga berikut.
A
B C
a b
c h
Gambar 20
Segitiga ABC dengan tinggi h
Dengan rumus perbandingan trigonometri untuk sudut , diperoleh atau
∙ untuk sudut diperoleh
atau ∙
Akibatnya diperoleh hubungan, ∙
∙ atau
Analog dengan cara tersebut diperoleh aturan Sinus, yaitu
Contoh Tentukan nilai .
30 45
2 a
Gambar 21
Segitiga lancip
Modul Matematika SMA
95
Jawab : Dengan aturan Sinus,
45° 2
30° diperoleh,
2 ∙
45° 30°
2 ∙
1 2 √2
1 2
2 √2
3. Aturan Cosinus pada Segitiga
Diperhatikan gambar berikut
H A
B C
a b
c h
Gambar 22
Segitiga ABC dengan tinggi h
Dengan rumus perbadingan trigonometri pada segitiga , diperoleh
atau ∙
dan atau
∙
Selanjutnya, diperhatikan ∆ , diperoleh panjang
∙ dan panjang
∙ .
Akibatnya, dengan Dalil Pythagoras diproleh
Kegiatan Pembelajaran KB Bagian Trigonometri
96
2 2
2 2
∙
2
∙
2 2
∙
2 2
2 ∙ ∙ .
2
.
2 2
2
∙
2 2
2 ∙ ∙ .
2 2
2 ∙ ∙ .
Akibatnya diperoleh aturan Cosinus
2 2
2
2 ∙ ∙ .
Analog dengan cara yang sama diperoleh aturan Cosinus untuk sisisudut yang lainnya, yaitu
2 2
2
2 ∙ ∙ ∙
, dan
2 2
2
2 ∙ ∙ ∙
Dari rumus aturan Cosinus diatas, kita dapat menentukan besar sudut suatu segitiga jika diketahui ketiga sisinya.
2 2
2
2 ∙ ∙ ∙
2 .
2 2
2 2
2 2
2 Analog dengan cara yang sama diperoleh
2 2
2
2
2 2
2
2 Contoh soal
Diketahui segitiga , dengan panjang
, , dan
. Tentukan besar sudut .