Indikator Pencapaian Kompetensi Latihan Rangkuman

Modul Matematika SMA 71  60° √3 1 √3 1 3 √3  60° 2 2  60° 2 √3 2 √3 2 3 √3 e. Sudut 90° Dengan cara yang sama dengan sudut 0°, dalam sistem kuadran sudut 90° berada pada sumbu dengan , , dan , untuk . Perbandingan trigonometri untuk sudut 90° adalah sebagai berikut.  90° 1  90°  90°  90°  90°  90° 1

3. Sudut Berelasi

Dalam sub bab ini berisi cara untuk menentukan atau menghitung nilai‐nilai dari keenam perbandingan trigonometri untuk suatu sudut A yang berada di kuadran , , , maupun V. al ini dapat dilakukan apabila sudut A dapat diubah atau direlasikan dengan suatu sudut di kuadran dengan 0 90° . Sebagai contoh sudut A= ° berelasi dengan sudut ° atau ° , karena ° ° atau ° ° . Relasi dari sudut‐sudut ini dalam trigonometri dapat dilukiskan pada grafik Cartesius dengan sifat pencerminan refleksi maupun perputaran rotasi .  Sudut berelasi di kuadran Relasi sudut dengan 90° , dengan 0 90° Kegiatan Pembelajaran KB Bagian Trigonometri 72 Perhatikan gambar berikut. x y O Aa,b A’b,a a b a b 90 - y=x Gambar 10 Sudut berelasi di kuadran Titik , dicerminkan terhadap garis maka diperoleh : i. Bayangan titik , yaitu , ii. , maka ° iii. Panjang Berdasarkan gambar tersebut, maka diperoleh: Tabel 2 Untuk , dan sudut Untuk , dan sudut ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° Dari hasil diatas, dapat disimpulkan relasi antara sudut dengan sudut ° , yaitu : Modul Matematika SMA 73 ° ° ° ° ° ° Diperhatikan bahwa, untuk sudut yang berelasi dengan ° , berubah menjadi , berubah menjadi , berubah menjadi , berubah menjadi , berubah menjadi , dan berubah menjadi .  Sudut berelasi di kuadran Relasi sudut‐sudut dalam kuadran meliputi relasi antara sudut dengan ° atau dengan ° , dengan °. Relasi sudut dengan sudut ° . Perhatikan gambar berikut x y O Aa,b A’-b,a a a -b 90 + Gambar 11 Sudut berelasi di kuadran Diketahui titik , , dengan panjang , dan ∠ . Titik , diputar berlawanan arah jarum jam sejauh °, diperoleh i. Bayangan titik ∶ , Kegiatan Pembelajaran KB Bagian Trigonometri 74 ii. ∠ ° iii. Panjang . Selanjutnya berdasarkan gambar, diperoleh perbandingan trigonemetri sudut dan ° Tabel 3 Untuk , dan sudut Untuk , dan sudut ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° Dari hasil diatas, dapat disimpulkan relasi antara sudut dengan sudut ° , yaitu : ° ° ° ° ° ° Diperhatikan bahwa, untuk sudut yang berelasi dengan ° , berubah menjadi , berubah menjadi , berubah menjadi , berubah Modul Matematika SMA 75 menjadi , berubah menjadi , dan berubah menjadi . Selanjutnya karena ° berada di kuadran , maka dan bernilai positif, sedangkan yang lainnya bernilai negatif.  Relasi sudut dengan sudut ° . Perhatikan gambar berikut x y O Aa,b a b 180 - -a A’-a,b Gambar 12 Relasi sudut dengan sudut ° Diketahui titik , , dengan panjang , dan sudut . Titik , dicerminkan terhadap sumbu , maka diperoleh : i. Bayangan titik ∶ , ii. ° iii. Panjang . Selanjutnya berdasarkan gambar, diperoleh perbandingan trigonemetri sudut dan ° Tabel 4 Untuk , dan sudut Untuk , dan sudut ° ° ° ° ° ° ° ° ° Kegiatan Pembelajaran KB Bagian Trigonometri 76 ° ° ° ° Dari hasil diatas, dapat disimpulkan relasi antara sudut dengan sudut ° , yaitu : ° ° ° ° ° °  Sudut berelasi di kuadran Relasi sudut‐sudut dalam kuadran meliputi relasi antara sudut dengan ° atau dengan ° , dengan °.  Relasi sudut dengan ° . Perhatikan gambar berikut x y O Aa,b a b 180 + -a A’-a,-b -b Gambar 13 Sudut berelasi di kuadran Diketahui titik , , dengan panjang , dan sudut . Titik , diputar berlawanan arah jarum jam sejauh °, diperoleh i. Bayangan titik ∶ , . ii. iii. Panjang . Modul Matematika SMA 77 Selanjutnya berdasarkan gambar, diperoleh perbandingan trigonemetri sudut dan ° . Tabel 5 Untuk , dan sudut Untuk , dan sudut ° ° ° ° ° sec ° ° ° ° ° ° ° ° Dari hasil diatas, dapat disimpulkan relasi antara sudut dengan sudut ° , yaitu : ° ° ° ° ° sec °  Relasi sudut dengan sudut ° . Perhatikan gambar berikut Kegiatan Pembelajaran KB Bagian Trigonometri 78 x y O Aa,b A’b,a a b a b y=x A”-b,-a -b -a 270 - Gambar 14 Relasi sudut dengan sudut ° Diketahui titik , , dengan panjang , dan . Titik , dicerminkan terhadap garis , kemudian dilanjutkan dengan rotasi sejauh °, diperoleh i. Bayangan akhir titik ∶ , ii. ∠ ° iii. Panjang . Selanjutnya berdasarkan gambar, diperoleh perbandingan trigonemetri sudut dan sudut ° . Tabel 6 Untuk , dan sudut Untuk , dan sudut ° ° ° ° ° ° ° Modul Matematika SMA 79 ° ° ° ° ° ° Dari hasil diatas, dapat disimpulkan relasi antara sudut dengan sudut ° , yaitu ° ° sin ° ° ° ° Diperhatikan bahwa, untuk sudut yang berelasi dengan ° , berubah menjadi , berubah menjadi , berubah menjadi , berubah menjadi , berubah menjadi , dan berubah menjadi . Selanjutnya karena ° berada di kuadran , maka dan bernilai positif, sedangkan yang lainnya bernilai negatif.  Sudut berelasi di kuadran V Relasi sudut‐sudut dalam kuadran V meliputi relasi antara sudut dengan ° , dengan ° , atau dengan dengan °.  Relasi sudut dengan ° . Perhatikan gambar berikut Kegiatan Pembelajaran KB Bagian Trigonometri 80 x y O Aa,b a b b A’b,-a -a 270 + Gambar 15 Sudut berelasi di kuadran V Diketahui titik , , dengan panjang , dan ∠ . Titik , diputar berlawanan arah jarum jam sejauh °, diperoleh i. Bayangan titik ∶ , ii. ∠ ° iii. Panjang . Selanjutnya berdasarkan gambar, diperoleh perbandingan trigonemetri sudut dan ° . Tabel 7 Untuk , dan sudut Untuk , dan sudut ° ° ° ° ° ° ° ° ° Modul Matematika SMA 81 ° ° ° ° Dari hasil diatas, dapat disimpulkan relasi antara sudut dengan sudut ° , yaitu : ° cos ° ° ° ° ° Diperhatikan bahwa, untuk sudut yang berelasi dengan ° , berubah menjadi , berubah menjadi , berubah menjadi , berubah menjadi , berubah menjadi , dan berubah menjadi . Selanjutnya karena ° berada di kuadran V, maka dan bernilai positif, sedangkan yang lainnya bernilai negatif.  Relasi sudut dengan sudut ° . Perhatikan gambar berikut Kegiatan Pembelajaran KB Bagian Trigonometri 82 x y O Aa,b a b A’a,-b -b 360 - Gambar 16 Relasi sudut dengan sudut ° Diketahui titik , , dengan panjang , dan sudut . Titik , dicerminkan terhadap sumbu , diperoleh : i. Bayangan titik ∶ , ii. ∠ ° iii. Panjang . Selanjutnya berdasarkan gambar, diperoleh perbandingan trigonemetri sudut dan ° . Tabel 8 Untuk , dan sudut Untuk , dan sudut ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° ° Modul Matematika SMA 83 Dari hasil diatas, dapat disimpulkan relasi antara sudut dengan sudut ° , yaitu ° ° ° ° ° °  Relasi sudut dengan sudut . Perhatikan gambar berikut x y O Aa,b a b A’a,-b -b - Gambar 17 Relasi sudut dengan sudut Diketahui titik , , dengan panjang , dan . Titik , dicerminkan terhadap sumbu , diperoleh : i. Bayangan titik ∶ , ii. ∠ iii. Panjang . Selanjutnya berdasarkan gambar, diperoleh perbandingan trigonemetri sudut dan . Kegiatan Pembelajaran KB Bagian Trigonometri 84 Tabel 9 Untuk , dan sudut Untuk , dan sudut ° cos ° ° ° ° ° Dari hasil diatas, dapat disimpulkan relasi antara sudut dengan sudut , yaitu :  Sudut yang lebih besar dari ° Perbandingan trigonometri untuk sudut °, dapat dilakukan dengan cara mengubah menjadi ∙ ° , dengan k adalah bilangan asli. Nilai perbandingan trigonometri dari sudut yang lebih dari ° mengikuti aturan berikut ∙ ° ∙ ° ∙ ° Modul Matematika SMA 85 ∙ ° ∙ ° csc ∙ ° Tentukan nilai dari : a. ° b. ° Jawab : a. Untuk menentukan nilai dari ° dapat dilakukan dengan beberapa cara i. Cara . ° ° ° ° √ ii. Cara . ° ° ° ° √ b. Untuk menentukan nilai dari ° dapat dilakukan dengan beberapa cara i. Cara . ° ° ° ° ii. Cara . ° ° ° °

4. Invers fungsi trigonometri

Sebelumnya diingat kembali bahwa setiap fungsi pasti memiliki invers, namun tidak semua invers tersebut merupakan fungsi. anya fungsi yang Kegiatan Pembelajaran KB Bagian Trigonometri 86 berkorespondensi satu – satu bijektif sajalah yang inversnya merupakan fungsi. Diberikan sebuah fungsi : A → B. Fungsi invers dari fungsi dituliskan adalah fungsi yang memenuhi, jika , maka , untuk setiap ∈ dan ∈ . Pernyataan tersebut ekuivalen dengan disebut fungsi invers dari fungsi jika dan hanya jika dan , untuk setiap ∈ , dan untuk setiap ∈ . Setiap fungsi trigonometri memiliki inversnya, namun tidak semua inversnya merupakan fungsi, mengingat bahwa fungsi trigonometri bersifat periodik. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut. Diberikan fungsi . Jelas bahwa ° , dan ° , diperoleh bahwa ° atau °. Dalam hal ini, invers dari bukan merupakan fungsi. Namun jika domain dari dibatasi maka invers fungsi tersebut bisa menjadi fungsi. Misalkan fungsi sin dengan domain o ≤ ≤ o . nvers dari fungsi sin merupakan fungsi. Selanjutnya didefinisikan fungsi invers dari fungsi trigonometri sebagai berikut : Tabel 10 Fungsi Invers dari Domain Range sin sin , °, ° cos cos , °, ° tan tan ∞, ∞ °, ° Catatan: tidak sama dengan . Bentuk bisa ditulis dengan arcsin . Demikian juga untuk yang lainnya, ditulis dengan dan, tan ditulis dengan . Lebih lanjut penulisan pangkat , diganti dengan didepan fungsi trigonometri. Selanjutnya, misalkan , maka , sehingga diperoleh Modul Matematika SMA 87 Akibatnya atau Analog dengan cara yang sama diperoleh dan Contoh soal Tentukan sudut pada gambar berikut. 3 4 Gambar 18 Segitiga Siku ‐ siku Jawab : Dengan rumus perbandingan trigonometri tangen diperoleh , atau diperoleh , , ° Catatan : Untuk menentukan nilai arctan dan lainnya bisa menggunakan tabel trigonometri atau menggunakan kalkulator. Kegiatan Pembelajaran KB Bagian Trigonometri 88

D. Aktivitas Pembelajaran

Untuk lebih memantapkan pemahaman peserta diklat atau pembaca tentang invers fungsi trigonometri, isilah titik – titik di bawah ini untuk menyederhanakan bentuk berikut ini. Untuk menyelesaikan permasalahan diatas dapat dilakukan dengan tahapaan berikut. i. Dimisalkan , maka … … ii. Selanjutnya dari … … diperoleh gambar y ... ... iii. Langkah selanjutnya adalah dengan mencari nilai . Dengan dalil Pythagoras diperoleh: … . . … . . … .. … .. √… . ⋯ √… iv. Selanjutnya dari gambar tersebut, dengan rumus perbandingan sudut diperoleh … … √… Jadi, √ Modul Matematika SMA 89

E. Latihan

. Diketahui adalah sudut lancip memenuhi , tentukan nilai dari , , dan . . Dua buah theodolite diposisikan pada titik A dan B untuk mengukur tinggi sebuah bukit, sepeti tampak pada gambar berikut : Diketahui jarak dari A ke B adalah km. Berapakah tinggi bukit tersebut ? . Tentukan nilai‐nilai dari ° , °, °, °, dan °. . Tentukan nilai dari ° ∙ ° ∙ ° ° ∙ ° ∙ ° . Jika °, buktikan bahwa . Dalam segitiga sebarang, buktikan bahwa . Buktikan bahwa untuk berlaku . Buktikan bahwa ° . Tentukan nilai dari . Sederhanakan bentuk Puncak bukit A B 33 20 t 5 km Kegiatan Pembelajaran KB Bagian Trigonometri 90

F. Rangkuman

. Fungsi Trigonometri Perhatikan gambar segitiga siku – siku berikut. Didefinisikan . Sudut stimewa 0° 30° 45° 60° 90° 1 2 1 2 √ 2 1 2 √ 3 1 1 1 2 √ 3 1 2 √ 2 1 2 1 3 √ 3 1 √3 Tak terdefinisi Tak terdefinisi √3 1 1 3 √ 3 1 2 3 √ 3 √2 2 Tak terdefinisi Tak terdefinisi 2 √2 2 3 √ 3 1 ϴ x y r Modul Matematika SMA 91 . Sudut Berelasi Berikut beberapa contoh sudut berelasi ° ° ° G. Umpan Balik dan Tindak Lanjut Untuk mengetahui tingkat penguasaan anda, cocokkan jawaban dengan kunci jawaban pada bagian akhir kegiatan pembelajaran. itung jawaban benar anda, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan anda terhadap materi kegiatan pembelajaran ini. Rumus Tingkat penguasaan= Jumlah jawaban benar 10 100 Kriteria – = baik sekali – = baik – = cukup = kurang

H. Kunci Jawaban

. √ , , √ . , . ° , ° √ , ° , ° √ , ° , . . . Terbukti. . . Terbukti . . Kegiatan Pembelajaran KB Bagian Trigonometri 92 KB : dentitas Trigonometri, Aturan Sinus dan Cosinus, serta Sifat MaksimumMinimum Fungsi Trigonometri

A. Tujuan

- Menjelaskan identitas dasar trigonometri sebagai hubungan antara rasio trigonometri dan perannya dalam membuktikan identitas trigonometri lainnya - Menjelaskan aturan sinus dan cosinus - Menggunakan sifat maksimumminimum fungsi untuk penyelesaian masalah

B. Indikator Pencapaian Kompetensi

Peserta diklat atau pembaca dapat menjelaskan identitas dasar trigonometri sebagai hubungan antara rasio trigonometri dan perannya dalam membuktikan identitas trigonometri lainnya, dan dapat menjelaskan aturan sinus dan cosinus serta menggunakan sifat maksimumminimum fungsi untuk penyelesaian masalah

C. Uraian Materi

1. Identitas Trigonometri

Seperti kita ketahui sebelumnya bahwa 30° 1 2 , 30° 1 2 √3, 45° 45° 1 2 √2. ni berakibat bahwa 30° 2 30° 1 4 3 4 1 2 45° 2 45° 2 4 2 4 1 Selanjutnya yang menjadi pertanyaan adalah apakah bentuk di atas hanya berlaku untuk sudut – sudut tertentu atau berlaku untuk sebarang sudut? Perhatikan gambar berikut. Modul Matematika SMA 93 A B C y x r Gambar 19 Segitiga siku – siku Dari rumus perbandingan trigonometri diperoleh , , , , , Akibatnya diperoleh, 1 1 Analog dengan cara yang sama diperoleh 1 dan 1 Selanjutnya diperhatikan, Akibatnya diperoleh Perhatikan Gambar , dengan Dalil Pythagoras diperoleh 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 berakibat 2 2 1 Bentuk di atas disebut identitas trigonometri. Kegiatan Pembelajaran KB Bagian Trigonometri 94

2. Aturan Sinus pada Segitiga

Diperhatikan segitiga berikut. A B C a b c h Gambar 20 Segitiga ABC dengan tinggi h Dengan rumus perbandingan trigonometri untuk sudut , diperoleh atau ∙ untuk sudut diperoleh atau ∙ Akibatnya diperoleh hubungan, ∙ ∙ atau Analog dengan cara tersebut diperoleh aturan Sinus, yaitu Contoh Tentukan nilai . 30 45 2 a Gambar 21 Segitiga lancip Modul Matematika SMA 95 Jawab : Dengan aturan Sinus, 45° 2 30° diperoleh, 2 ∙ 45° 30° 2 ∙ 1 2 √2 1 2 2 √2

3. Aturan Cosinus pada Segitiga

Diperhatikan gambar berikut H A B C a b c h Gambar 22 Segitiga ABC dengan tinggi h Dengan rumus perbadingan trigonometri pada segitiga , diperoleh atau ∙ dan atau ∙ Selanjutnya, diperhatikan ∆ , diperoleh panjang ∙ dan panjang ∙ . Akibatnya, dengan Dalil Pythagoras diproleh Kegiatan Pembelajaran KB Bagian Trigonometri 96 2 2 2 2 ∙ 2 ∙ 2 2 ∙ 2 2 2 ∙ ∙ . 2 . 2 2 2 ∙ 2 2 2 ∙ ∙ . 2 2 2 ∙ ∙ . Akibatnya diperoleh aturan Cosinus 2 2 2 2 ∙ ∙ . Analog dengan cara yang sama diperoleh aturan Cosinus untuk sisisudut yang lainnya, yaitu 2 2 2 2 ∙ ∙ ∙ , dan 2 2 2 2 ∙ ∙ ∙ Dari rumus aturan Cosinus diatas, kita dapat menentukan besar sudut suatu segitiga jika diketahui ketiga sisinya. 2 2 2 2 ∙ ∙ ∙ 2 . 2 2 2 2 2 2 2 Analog dengan cara yang sama diperoleh 2 2 2 2 2 2 2 2 Contoh soal Diketahui segitiga , dengan panjang , , dan . Tentukan besar sudut .